51Nod1383---整数分解为2的幂

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#组合数学 #递推公式建立

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本文深入探讨了将整数分解为2的幂次方之和的算法，通过递推公式和逻辑推理，揭示了奇数和偶数在分解过程中的不同特性，提供了清晰的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

51Nod1383---整数分解为2的幂

容易想到对于某一个数i，它的组合可以看成是i-1的每一种组合加上一个1，但这个1可能会与其他1合并，从而产生新的组合；

当i为奇数时，发现其中有一个1一直没有被合并；对于i-1的每一个组合插入一个1，如果发生合并只会占了原本需要合并、产生新组合的1的位置，因此最后不会产生新组合；

但是当i为偶数时，因为i-1的每一种组合最后必定剩下一个从来没有被合并的1，此时插入一个1会发生合并产生新组合，这时找到i-1所有剩下一个1的组合，两个1合并必定产生新组合，而且这个新组合中不会存在1，那么这些新组合怎么递推得到呢？将这些组合除二后发现这些就是i/2的组合。

最后建立递推公式：

为了方便理解，可以列出一定数量的组合。

1=1

2=1+1=2

3=1+1+1=1+2

4=1+1+1+1=1+1+2=2+2=4

5=1+1+1+1+1=1+1+1+2=1+2+2=1+4

6=1+1+1+1+1+1=1+1+1+1+2=1+1+2+2=2+2+2=2+4=1+1+4

#include <bits/stdc++.h>
#define For(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);++i)
#define Fov(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);--i)
#define Fo(i,x,y) for(int i=(x);i<(y);++i)
#define midf(a,b) ((a)+(b)>>1)
#define L(_) (_)<<1
#define R(_) ((_)<<1)|1
#define fi first
#define se second
#define ss(_) scanf("%s",_)
#define si(_) scanf("%d",&_)
#define sii(x,y) scanf("%d%d",&x,&y)
#define siii(x,y,z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)
#define sl(_) scanf("%I64d",&_)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int>P;
inline int read()
{
    char ch=getchar(); int x=0, f=1;
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while('0'<=ch&&ch<='9') { x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double pi=acos(-1.0);
const int mod=1e9+7;
const int n_max=1e6+10;
int a[n_max];

int main()
{
	//freopen("in.txt","r",stdin);
	int n; si(n);
	a[0]=1;
	For(i,1,n)
	{
	    if(i&1) a[i]=a[i-1];
	    else a[i]=(a[i-1]+a[i>>1])%mod;
	}
	printf("%d\n",a[n]);
    return 0;
}