【ZCMU】数的划分（dp || 母函数）

最新推荐文章于 2021-05-18 10:17:30 发布

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本文详细解析了数的划分问题的两种算法实现：母函数法和动态规划法。通过实例说明了如何求解一个正整数的所有划分方法数量，包括算法思路、关键步骤及代码实现。

题目链接

2117: 数的划分

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Description

　一个正整数可以划分为多个正整数的和，比如n=3时：
3；1＋2；1＋1＋1；
共有三种划分方法。
给出一个正整数，问有多少种划分方法。

Input

一个正整数n，n<=100

Output

一个正整数，表示划分方案数

Sample Input

Sample Output

HINT

Source

算法提高

解法一：母函数

【解题思路】

由题意可得组成的数可以为0，所以这就是一道母函数模板题啦。母函数的经典案例就是砝码的选取，所以这里我们也可以将一个数n（即质量为n的砝码）看成质量为0（不取这个砝码），1，2，3，...，n的砝码组成，然后套一下模板就可以啦。

如果不知道母函数的小伙伴可以戳这里https://blog.youkuaiyun.com/qq_39826163/article/details/85137200

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int xs[105],temp[105];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        xs[i]=1;
        temp[i]=0;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=n;j++)
        {
            for(int k=0;k+j<=n;k+=i)
            {
                temp[k+j]+=xs[j];
            }
        }
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            xs[i]=temp[i];
            temp[i]=0;
        }
    }
    printf("%d\n",xs[n]);
}

解法二：dp

【解题思路】

设dp[i][j]为将i这个数分成j份的方案数。

先做初始化，将i分成i份肯定是1（每一份都是1的情况），将1分成i份肯定也是1（其中1份为1，其他都为0）。

然后遍历1-n个数，将其中每一个数都分成1-n份。

当i<j时，就相当于把i分成i份（因为肯定至少会有j-i份是全是0的），所以dp[i][j]=dp[i][i]。

当i=j时，分成两种情况，一种是j份中每一份都有数字（因为i=j，所以每一份都是1，这种方案数只有1种），还有一种是至少有一份为0（就相当于把i分成j-1份，所以是dp[i][j-1]）。所以dp[i][j]=dp[i][j-1]+1。

当i>j时，同样分成两种情况，一种是j份每一份都有数字（为了保证每一份都有数字，我先拿出j个1放在每一份中，再把i-j分到j份中，所以相当于dp[i-j][j]），另一种是至少有一份为0（同上为dp[i][j-1]），所以dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=105;
int dp[maxn][maxn];//i分成j份
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dp[i][i]=1;
        dp[1][i]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(i<j)dp[i][j]=dp[i][i];
            else if(i==j)dp[i][j]=dp[i][j-1]+1;
            else dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];
        }
    }
    printf("%d\n",dp[n][n]);
}