2117: 数的划分
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Description
一个正整数可以划分为多个正整数的和,比如n=3时:
3;1+2;1+1+1;
共有三种划分方法。
给出一个正整数,问有多少种划分方法。
Input
一个正整数n,n<=100
Output
一个正整数,表示划分方案数
Sample Input
3
Sample Output
3
HINT
Source
解法一:母函数
【解题思路】
由题意可得组成的数可以为0,所以这就是一道母函数模板题啦。母函数的经典案例就是砝码的选取,所以这里我们也可以将一个数n(即质量为n的砝码)看成质量为0(不取这个砝码),1,2,3,...,n的砝码组成,然后套一下模板就可以啦。
如果不知道母函数的小伙伴可以戳这里https://blog.youkuaiyun.com/qq_39826163/article/details/85137200
【代码】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int xs[105],temp[105];
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<=n;i++)
{
xs[i]=1;
temp[i]=0;
}
for(int i=2;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=n;j++)
{
for(int k=0;k+j<=n;k+=i)
{
temp[k+j]+=xs[j];
}
}
for(int i=0;i<=n;i++)
{
xs[i]=temp[i];
temp[i]=0;
}
}
printf("%d\n",xs[n]);
}
解法二:dp
【解题思路】
设dp[i][j]为将i这个数分成j份的方案数。
先做初始化,将i分成i份肯定是1(每一份都是1的情况),将1分成i份肯定也是1(其中1份为1,其他都为0)。
然后遍历1-n个数,将其中每一个数都分成1-n份。
当i<j时,就相当于把i分成i份(因为肯定至少会有j-i份是全是0的),所以dp[i][j]=dp[i][i]。
当i=j时,分成两种情况,一种是j份中每一份都有数字(因为i=j,所以每一份都是1,这种方案数只有1种),还有一种是至少有一份为0(就相当于把i分成j-1份,所以是dp[i][j-1])。所以dp[i][j]=dp[i][j-1]+1。
当i>j时,同样分成两种情况,一种是j份每一份都有数字(为了保证每一份都有数字,我先拿出j个1放在每一份中,再把i-j分到j份中,所以相当于dp[i-j][j]),另一种是至少有一份为0(同上为dp[i][j-1]),所以dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]。
【代码】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=105;
int dp[maxn][maxn];//i分成j份
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dp[i][i]=1;
dp[1][i]=1;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(i<j)dp[i][j]=dp[i][i];
else if(i==j)dp[i][j]=dp[i][j-1]+1;
else dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];
}
}
printf("%d\n",dp[n][n]);
}