[HAOI2018]苹果树

• ……先自闭两个小时
• 好吧，不会写，看了看题解，说一下思路吧。
• 首先第一个小$trick$是，按照题意去建树，$n$个点能组成的二叉树的数量正好是$n！$。因此求期望的时候我们不需要乘概率了，直接累加答案就好。
• 再来描述一下问题：求所有不同的树上两两节点之间的距离之和。
• 这个问题这样描述，真的很难求，考虑转化思路，求每一条边对答案的贡献。
• 除了根节点每一个点都有一条连向父亲的边，我们就依次求这个边的贡献。先枚举点的编号，再枚举子树的大小。设当前点为$i$，子树大小为$siz$，对一个方案的贡献就是$siz\ast (n-siz)$。但是我们还需要乘上方案数。考虑当前点为$i$，子树大小为$siz$的方案数如何求：首先从编号1到编号$i$取的这$i$个点有$i！$种方案。然后从剩下的点里面选出了$siz-1$个点放在了$i$这颗子树里，需要乘上一个组合数。这$siz-1$个点相当于以i为根任意选位置添加，方案数为$siz！$。剩下的$n-i-siz+1$个节点，第一个点有$i-1$种选择，第二个有$i-1+1$种，第三个……最后一个有$i-1+n-i-siz$即$n-siz-1$种选择。这些都乘起来，得到：
  $$ans=\sum _{i=2}^{n}i!\sum _{siz=1}^{n-i+1}{C}_{n-i}^{siz-1}siz!(n-siz)siz\frac{(n-siz-1)!}{(i-2)!}$$
• 模数$p$不确定，显然除法不合适，我们需要设法把除法变成乘法。阶乘除以阶乘，考虑和组合数之间的转化。
  $$\frac{(n-siz-1)!}{(i-2)!}=C_{n-siz-1}^{i-2}\ast (n-siz-i+1)!$$
  $$ans=\sum _{i=2}^{n}i!\sum _{siz=1}^{n-i+1}{C}_{n-i}^{siz-1}siz!(n-siz)siz{C}_{n-siz-1}^{i-2}\ast (n-siz-i+1)!$$
• $O(n^2)$预处理组合数，直接递推即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=2010;
int n,p;ll ans,jie[N],c[N][N];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&p);
	jie[0]=jie[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i) jie[i]=1LL*jie[i-1]*i%p;
	c[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		c[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;++j) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%p;
	}
	for(int i=2;i<=n;++i){
		for(int siz=1;siz<=n-i+1;siz++){
			ans=(ans+1LL*jie[i]*c[n-i][siz-1]%p*jie[siz]%p*siz%p*(n-siz)%p*c[n-siz-1][i-2]%p*jie[n-siz-i+1]%p)%p;
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}