[NOI2006最大获利]

最大权闭合子图模板题,美滋滋。

闭合子图
  • 定义一张有向图的闭合子图G0G_0G0,那么对于子图中的任意一个节点vvv都没有一条连出子图外节点的边。
最大权闭合子图
  • 我们给有向图中的每个点uuu赋一个可正可负的权值wiw_iwi,那么一个有向图的最大权闭合子图就是满足∑wi\sum_{w_i}wi最大的G0G_0G0
解决方法
  • 建立超级源点向所有正权值的点连容量为点权的边。
  • 建立超级汇点,所有负权值的点向汇点连容量为点权绝对值的边。
  • 原图中的边保留,容量为inf。
  • ∑wi>0−maxflow\sum_{w_i>0}-maxflowwi>0maxflow即为答案。
正确性
  • 考虑最优值一定是SSS到正权点尽可能多流,负权点尽可能少流。所以我们先全选正权点。
  • 现在从SSS—>TTT就是损失。想一下,如果我们从SSS流出了一条容量为xxx点权的边,它跑完最大流之后,跑不满对应的负权点到TTT的流,代表什么?代表选了这个点,花费比收益大。不过在网络流图中,你跑最大流,最坏情况对应的其实就是不选这个点。因为你是减去最大流,最大流最多也就是wxw_xwx。多个点结合,也是一样的效果。
  • 所以我们跑完最大流,就是最小损失,sum−maxflowsum-maxflowsummaxflow就是答案。
模板题:[NOI2006]最大获利

在这里插入图片描述

  • 直接把每个收益建成新节点,从sss连边。这个收益点向两个中转站连infinfinf的边。中转站向ttt连容量为代价的边。
  • 跑最大权闭合子图即为答案。
Coding
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=2e5+100;
const int inf=1e9;
int n,m,tot=1,cnt,s,t,sum,flow,maxflow,d[N],p[N],ver[N<<1],Next[N<<1],lin[N],edge[N<<1];
void add(int x,int y,int z){
    ver[++tot]=y;Next[tot]=lin[x];lin[x]=tot;edge[tot]=z;
    ver[++tot]=x;Next[tot]=lin[y];lin[y]=tot;edge[tot]=0;
}
bool bfs(){
    queue<int>q;
    memset(d,0,sizeof(d));
    d[s]=1,q.push(s);
    while(q.size()){
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=lin[x];i;i=Next[i]){
            int y=ver[i];
            if(!d[y]&&edge[i]){
                d[y]=d[x]+1;
                q.push(y);
                if(y==t)return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int dinic(int x,int flow){
    if(x==t) return flow;
    int rest=flow;
    for(int i=lin[x];i&&rest;i=Next[i]){
        int y=ver[i];
        if(edge[i]&&d[y]==d[x]+1){
            int k=dinic(y,min(edge[i],rest));
            if(!k) d[y]=0;
            rest-=k;edge[i]-=k;edge[i^1]+=k;
            if(!rest) return flow-rest;
        }
    }
    return flow-rest;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    s=0,t=n+m+1;cnt=n;
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&p[i]),add(i,t,p[i]);
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        ++cnt;sum+=z;
        add(s,cnt,z);add(cnt,x,inf);add(cnt,y,inf);
    }
    while(bfs()){
        while(flow=dinic(s,inf)) maxflow+=flow;
    }
    printf("%d\n",sum-maxflow);
    return 0;
}
NOI2006是指2006年的全国信息学奥林匹克竞赛。"聪明的导游"是一道在比赛中出现的题目,需要我们编写程序进行求解和数据分析。 首先,我们需要从官方网站或相关渠道下载与“聪明的导游”题目相关的数据。这些数据可能包括景点的名称、编号、导游线路的长度、舒适度,以及可能的限制条件和特殊要求等。 接下来,我们可以使用编程语言(如C++、Python等)来编写一个程序,对这些数据进行处理和分析。这个问题可以被抽象为一个图论问题,其中景点可以表示为图中的节点,导游线路可以表示为图中的边。 我们可以使用图的遍历算法(如深度优先搜索或广度优先搜索)来寻找最佳的导游线路。我们可以用一个数组和一个矩阵来表示该导游线路,其中数组存储已经访问过的景点,矩阵表示两个不同景点之间的距离。 在程序中,我们可以使用适当的数据结构来存储和处理这些数据,例如数组、图、队列等。我们可以使用动态规划等算法来优化计算效率,从而找到最优的导游线路。 最后,我们可以根据程序的运行结果分析和展示最佳导游线路的路径和特点。我们可以输出导游线路的长度、各个景点的编号和名称,以及其舒适度等信息。 总之,要下载NOI2006比赛中的“聪明的导游”题目数据,我们需要从官方渠道获取相关数据,编写一个程序来处理和分析这些数据,最终找到最佳导游线路的解决方案。通过合理的算法设计和数据结构选择,我们可以有效地解决这个问题。
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