立方体上的随机游动

昨天的随机过程课程有一道有趣的习题：

问题： 一个粒子在正立方体的顶点上做随机游动，每次有 $\frac{1}{4}$ 的概率停留不动，有 $\frac{1}{4}$ 的概率移动至相邻的顶点. 试求从某顶点 $v$ 出发首次回到 $v$ 的平均时间.

假设这立方体的8个顶点分别标记为 $0,1,\cdots ,7$ . 为方便起见，我们来讨论从$0$出发的粒子首次回到 $0$ 的平均时间. 设随机变量 $X_n$ 代表 $n$ 步游动后粒子的位置，则$X_n$将取值于 $0,1,\cdots ,7$. 按照标准的记号，定义
τ0=inf⁡{ n⩾0:Xn=0}\tau_0=\inf\{n\geqslant0:X_n=0\}τ0​=inf{ n⩾0:Xn​=0}是粒子首次回到 $0$ 的时刻.

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线性方程组法

解决这类平均时间的问题的一般方法是为返回时间建立合适的线性方程组. 定义
$$x_i=E_i{\tau }_0,i=0,1,\cdots ,7$$则 $x_i$ 就是粒子从 $i$ 出发时首次返回 $0$ 的平均时间. 由于立方体的对称性，从 $1,3,7$ 出发返回 $0$ 的平均时间应该相等，从 $1,3,7$ 出发返回 $0$ 的平均时间应该相等，即
$$x_0$$