组合数学——组合数初步

组合数

组合的意义：
从n个物品中随意取出r个物品（都是不可重复的）的方案数（）。记作CrnCnr。
计算公式是Crn=n!r!×(n−r)!Cnr=n!r!×(n−r)!

一些组合数的基本公式

1. Crn=Cn−rnCnr=Cnn−r
2. Crn=Crn−1+Cr−1n−1Cnr=Cn−1r+Cn−1r−1
3. C0n+C1n+…+Cnn=2n(二项式定理)Cn0+Cn1+…+Cnn=2n(二项式定理)

可重复组合

如果在nn个不同元素中找出rr个可重复的元素，那么方案数是Hrn=Crn+r−1Hnr=Cn+r−1r

某种不定方程解的个数

x1+x2+…+xn=rx1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数就是Hrn=Crn+r−1Hnr=Cn+r−1r。

多组组合

把nn个不同的元素分为kk个按照一定顺序排列的组，其中第ii个组有nini个元素。则不同的分法有

n!n1!n2!…nk!n!n1!n2!…nk!

种。

证明：

从nn个元素中取出nini个元素有Cn1nCnn1种方法。从剩下的n−nin−ni个元素中取ni+1ni+1个元素有Cni+1n−niCn−nini+1种方法。
那么乘法原理：

Cn1n×Cn2n−n1×…×Cnkn−n1−…−nk−1Cnn1×Cn−n1n2×…×Cn−n1−…−nk−1nk

展开每一个式子之后就可得原式了。