2020ccpc长春D Meaningless Sequence（推规律 nlogn 解法）

最新推荐文章于 2021-11-23 21:35:43 发布

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本文介绍了一种针对特定二进制数求和问题的有效解决方法。通过观察规律，作者提出了一个递推公式，并将其复杂度优化至线性级别。该方法利用二进制位运算实现了高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在这里插入图片描述

赛场交了个 $O (n l o g n)$ 的代码，居然过了 ~~第一次现场赛碾压标程（雾）~~
补一下想法：
一开始发现了一个规律，对于一个二进制位全为 $1$ 的数 $x$ 有 $∑i=0xai=(1+c)n\sum_{i=0}^xa_i=(1+c)^n$ 其中 $n$ 为 $x$ 的二进制位数，而当 $x$ 的二进制第一位是 $1$ 其余都是 $0$ 的数时有 $∑i=0xai=(1+c)n+c\sum_{i=0}^xa_i=(1+c)^n+c$ ，于是猜测有如下规律：
令 $f (n, i)$ 为如下函数
$\begin{cases} i, &if\ (n>>i)\&1=1\\ 0, &otherwise \end{cases}$
我们求解的答案就变成了下式：
$∑i=0xai=((1+c)f(x,len)+c((1+c)f(x,len−1)+c(...((1+c)f(x,1)+c((1+c)f(x,0)+c)))))\sum_{i=0}^xa_i= ((1+c)^{f(x,len)}+c((1+c)^{f(x,len-1)}+c(...((1+c)^{f(x,1)}+c((1+c)^{f(x,0)}+c)))))$
递推这个式子复杂度是 $O (n l o g n)$ 的，其实这个式子的复杂度可以优化到线性（边循环边处理 $(1 + c)$ 的幂次即可）

其实这个式子是我按照初始规律猜着猜着发现的，还不太会证（还是我太菜了）

具体细节见代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 3e3+5;
const int mod = 1e9+7;
const double pi = acos(-1);
const double eps = 1e-8;
char s[maxn];
ll c;
ll qpow(ll a,ll b)
{
	ll res = 1;
	while(b)
	{
		if(b&1) res = (res*a)%mod;
		a = a*a%mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	ll ans = 1;
	scanf("%s%lld",s,&c);
	int len = strlen(s);
	for(int i = len-1;i >= 0;i--)
		if(s[i] == '1')
			ans = (qpow(1+c,len-i-1)+c*ans%mod)%mod;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}