路径和最大

1. 问题描述：

将一些数字排成数塔的形状，其中第一层有一个数字，第二层有两个数字....第n层有n个数字，现在要求从第一层走到第n层，每次走向下一层连接的两个数字中的一个，问：最后将路径上的所有数字相加后得到的最大和是多少？

5
8 3
12 7 16
4 10 11 6
9 5 3 9 4

2. 思路分析：

① 首先我们是可以使用暴力破解的，开一个二维数组f，其中f[i][j]存储的是第i层的第j个数字，那么可以存储路径中的所有数字，可以使用深度优先搜索求解出所有的路径然后然后选取一条路径和最大的那一条输出即可，但是由于每个数字都是具有两个分支的，所以可以得到时间复杂度为O（2 ^ n）这在n很大的时候根本是计算不出来的

② 除了上面的暴力破解之外我们还可以使用动态规划的思想来解决，可以从第一层开始考虑，首先从第一层的5出发，开始选择8和3这两条路径开始往下一直到达路径的末端看一下路径的最大值是什么，我们可以这样想比如我们在走5->3->7这条路径往下走的时候假设那么我们已经计算出从7出发往下走到达最终路径的最大值是多少这样我们在7这个方向往下走的时候就可以取出其最大值了，基于上面的考虑我们可以声明一个dp数组，dp[i][j]记录的是从当前点到最后一层所经历的路径的最大值

所以我们应该从下往上进行求解，最终dp[1][1]就是我们需要求解的最大路径和，在使用dp数组进行求解的时候是从n - 1层从下往上进行求解的，所以dp数组最后一层的值就是我们数塔在最后一层的值

3. 上面的例子输出结果是44 ，下面是具体的代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1000;
int f[maxn][maxn], dp[maxn][maxn];
int main(void){
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		for(int j = 1; j <= i; ++j){
			scanf("%d", &f[i][j]);
		}
	}
	//边界
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		dp[n][i] = f[n][i];
	} 
	//从n - 1层往上计算出dp[i][j]
	for(int i = n - 1; i >= 1; --i){
		for(int j = 1; j <= i; ++j){
			dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + f[i][j];		
		}
	}
	printf("%d\n", dp[1][1]);
	return 0;
}