Dijkstra算法的总结

1. 对于最短路径算法我们最常使用的方法是使用Dijkstra算法来进行解决，但是在最短路径算法中往往是Dijkstra算法的一些变体，但是核心不变的是需要求解从源点s到顶点v的最短路径，在题目中更多出现的是另外一种情况是起点到达终点的路径是不止一条的，于是存在两条以及以上可以到达最短距离的路径题目就会给出一个第二标尺（第一标尺是距离）要求在所有最短路径中选择第二标尺最优的一条路径，而第二标尺常见的是一下三种出题方法或者组合

2. 分别如下：

① 给每一条边再增加一个边权（比如说花费）然后要求在最短路径有多条时要求路径上的花费之和最小（如果是边权的其他定义也可以是最大的）

② 给每个点增加一个点权（例如每个城市能够收集到的物资），然后再最短路径有多条的时候要求路径上的点权之和最大的（如果是点权的其他定义也可以是最小的）

③ 直接问有多少条最短路径

对于这三种出题的方法，我们都只需要增加一个数组来存放新增的边权或点权或最短路径条数，然后再Dijkstra算法上进行修改优化d[v]的那个步骤即可，其他部分不需要进行修改

3. 下面对于这三种出题方法对代码的修改给出解释：

① 增加边权

以新增的边权代表花费为例，用cost[u][v]表示u->v的花费（由题目输入）并增加一个数组c[]，令从起点s到达顶点u的最少花费为c[u]，初始化的时候只有c[s] = 0，其余c[v]为INF，这样就可以在d[u] +G[u][v]< d[v]的时候更新d[v]和c[v]，而当d[u] +G[u][v]== d[v]且c[u] + cost[u][v] < c[v]（即可以是s到达v的最少花费更优）时更新c[v]，代码如下：

for(int v = 0; v < n; v++){
	if(vis[v] == false && G[u][v] != INF){
		if(d[u] + G[u][v] < d[v]){
			d[v] = d[u] + G[u][v];
			c[v] = c[u] + cost[u][v];
		}else if(d[u] + G[u][v] == d[v] && c[u] + cost[u][v] < c[v]){
			c[v] = c[u] + cost[u][v];
		}
	}
} 

② 新增点权

以新增的点权代表城市中能够收到的物资为例，用weight[u]表示城市u中的物资数目（由题目输入）并增加一个数组w[]，初始化的时候只有w[s]为weight[s]，其余w[u] 为0，这样就可以在d[u] +G[u][v]< d[v]的时候更新d[v]和w[v]，而当d[u] +G[u][v]== d[v]且c[u] + cost[u][v] > [v]（即可以是s到达v的最大物资数目更优）时更新w[v]，代码如下：

for(int v = 0; v < n; v++){
	if(vis[v] == false && G[u][v] != INF){
		if(d[u] + G[u][v] < d[v]){
			d[v] = d[u] + G[u][v];
			w[v] = w[u] + weight[u][v];
		}else if(d[u] + G[u][v] == d[v] && w[u] + weight[v] < w[v]){
			w[v] = w[u] + weight[v];
		}
	}
} 

③ 求解最短路径条数

只需要增加一个数组num[]，令从起点s到达顶点v的最短路径条数为num[u]，初始化的时只有num[s]为1，其余num[u] 为0，这样就可以在d[u] +G[u][v]< d[v]的时候更新d[v]，并让num[v]继承自num[u]，而当d[u] +G[u][v]== d[v]且c[u] + cost[u][v] > [v]将num[u] 加到num[v]上，代码如下：

for(int v = 0; v < n; v++){
	if(vis[v] == false && G[u][v] != INF){
		if(d[u] + G[u][v] < d[v]){
			d[v] = d[u] + G[u][v];
			num[v] = num[u];
		}else if(d[u] + G[u][v] == d[v){
			num[v] += num[u];
		}
	}
}