最小的k个数

本文探讨了从一组整数中找出最小的K个数的多种算法解决方案,包括排序、部分排序及快速排序划分等方法,并提供了具体的实现代码。

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题目描述

输入n个整数,找出其中最小的K个数。例如输入4,5,1,6,2,7,3,8这8个数字,则最小的4个数字是1,2,3,4,。

解法一:排序

相信很多人会首先想到这种方法,先把数组按升序/降序进行排序,然后输出 K 个最小/最大的数。

  • 常规的排序方法时间复杂度至少是Θ(nlog2n)Θ(nlog2n)。(快排或堆排序
  • 可能你会说,我们可以使用线性时间的排序算法。当然可以,但通常它们对输入的数组有一定的要求。比如计数排序要求 n 个数都是正整数,且它们的取值范围不太大。

解法二:部分排序 O(nk)O(n∗k)

由于我们只需要找出最小/最大的 k 个数,所以我们可以进行部分排序,比如简单选择排序 和 冒泡排序,它们每一趟都能把一个最小/最大元素放在最终位置上,所以进行 k 趟就能把 n 个数中的前 k 个排序出来。

部分简单选择排序:
void select_sort(int A[], int n, int k)
{
    for(int i=0; i<k; ++i) { // k趟
        int Min = i;         // 记录最小元素的位置

        for(int j=i+1; j<n; ++j)
            if(A[j] < A[Min])
                Min = j;

        if(Min != i)  // 与A[i]交换
        {
            int tmp = A[Min];
            A[Min] = A[i];
            A[i] = tmp;
        }
    }
}
部分冒泡排序:
void bubble_sort(int A[], int n, int k)
{
    for(int i=0; i<k; ++i)  // k趟
    {
        bool flag = false;
        for(int j=n-1; j>i; --j)  // 一趟冒泡过程
            if(A[j-1] > A[j])
            {
                int tmp = A[j-1];
                A[j-1] = A[j];
                A[j] = tmp;
                flag = true;
            }
        if(flag == false)  // 已经有序
            return ;
    }
}

解法三:快排划分 O(nlog2k)O(n∗log2k)

当我们求出第 k 顺序统计量时,位于它前面的元素都比它小,位于它后面的元素都比它大。这时,数组的前 k 个数就是最小的 k 个数。

int partition(int A[], int low, int high)
{
    int pivot = A[low];
    while(low < high)
    {
        while(low < high && A[high]>=pivot)
            --high;
        A[low] = A[high];
        while(low < high && A[low]<=pivot)
            ++low;
        A[high] = A[low];
    }
    A[low] = pivot;
    return low;
}


int topK(int A[], int low, int high, int k)
{
    if(k <= 0)
        return -1;
    if(low == high)
        return low;

    int pos = partition(A, low, high);
    int i = pos - low + 1;
    if(i == k)
        return pos;  // 返回前k个数的
    else if(i > k)
        return topK(A, low, pos, k);
    else
        return topK(A, pos+1, high, k-i);
}



在C语言中,找到一组整数中的最小k个数可以采用多种算法实现,其中一种常见的方法是使用优先队列(通常称为堆),特别是大顶堆(Max Heap)。这里提供一个简单的示例,使用大顶堆结构: ```c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> // 定义一个数组大小 #define MAX_SIZE 100 // 结构体表示堆节点,包含值和索引 typedef struct { int value; int index; } MinHeapNode; // 大顶堆实现,用于存储前k小的元素 void max_heapify(int arr[], int n, int i) { int largest = i; // 初始化最大值位置为根节点 int left = 2 * i + 1; // 左孩子 int right = 2 * i + 2; // 右孩子 if (left < n && arr[left] > arr[largest]) { largest = left; } if (right < n && arr[right] > arr[largest]) { largest = right; } if (largest != i) { // 如果有更大值 swap(&arr[i], &arr[largest]); // 交换 max_heapify(arr, n, largest); // 递归调整子树 } } // 建立大顶堆 void build_max_heap(int arr[], int k) { for (int i = k / 2 - 1; i >= 0; i--) { max_heapify(arr, k, i); } } // 添加新元素到堆并保持堆性质 void insert(int arr[], int n, int k, int new_val, int new_index) { arr[n++] = new_val; // 添加新元素 max_heapify(arr, k, n - 1); // 调整以保持堆 } // 获取最小k个数 void get_min_k(int arr[], int k) { printf("The smallest %d numbers are:\n", k); for (int i = 0; i < k; i++) { printf("%d ", arr[0]); swap(&arr[0], &arr[k - 1]); // 将当前堆顶移到末尾 max_heapify(arr, k - 1, 0); // 更新堆 } } // 主函数示例 int main() { int arr[] = {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}; int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]), k = 3; build_max_heap(arr, k); // 创建初始堆 // 假设我们有新元素插入 insert(arr, n, k, 100, 10); // 新元素:100, 索引:10 get_min_k(arr, k); // 输出前k小数 return 0; } ``` 在这个例子中,`build_max_heap()`函数建立了一个大顶堆,`insert()`函数用于添加新元素并维护堆属性,`get_min_k()`函数则从堆中获取并删除最小的k个元素。
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