矩阵

最新推荐文章于 2024-05-10 22:28:43 发布

Deadmau4

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这篇博客介绍了矩阵的概念，包括同型矩阵、n阶矩阵、行矩阵、列矩阵、零矩阵和单位矩阵。此外，还探讨了矩阵的计算操作，如加、减、乘，并提到了矩阵快速幂在解决斐波那契数列问题中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

概念

在这里插入图片描述

常见用语

同型矩阵

两个矩阵A，B，如果都是m行n列的，称他们是同型矩阵

n阶矩阵

n行n列的矩阵，称为n阶矩阵或方阵

行矩阵:只有一行的矩阵

列矩阵：只有一列的矩阵

零矩阵：元素都是0的矩阵

单位矩阵

从左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上元素都是1,其他元素都是0

计算

加

在这里插入图片描述
减

乘

矩阵乘数：
在这里插入图片描述
矩阵乘矩阵：

在这里插入图片描述
矩阵快速幂(模板)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
#define mod 1000000007
using namespace std;
inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;
	char ch;
	while(ch>'9'||ch<'0')
	{
		if(ch=='-')	f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return f*x;
}
ll n,k;
struct matrix
{
	ll a[105][105];
	matrix(int t=0)
	{
		memset(a,0,sizeof(a));
		for(int i=1;i<=n;i++)	a[i][i]=t;
	}
	inline matrix operator *(const matrix &A)
	{
		matrix ans(0);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)
			{
				for(int k=1;k<=n;k++)
				{
					ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*A.a[k][j]%mod)%mod;
				}
			}
		}
		return ans;
	}
	friend inline matrix operator ^(matrix A,ll b)
	{
		matrix ans(1);
		while(b)
		{
			if(b&1)	ans=ans*A;
			A=A*A;
			b/=2;
		}
		return ans;
	}
}A;
int main()
{
	n=read();
	k=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			A.a[i][j]=read();
		}
	}
	A=A^k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			printf("%lld ",A.a[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

例题：求斐波那契数列的第n项；

在这里插入图片描述
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
#define mod 1000000007
using namespace std;
inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;
	char ch;
	while(ch>'9'||ch<'0')
	{
		if(ch=='-')	f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return f*x;
}
ll n;
struct matrix
{
	ll a[3][3];
	matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
	inline matrix operator *(const matrix &A)const
	{
		matrix ans;
		for(int i=1;i<=2;i++)
		{
			for(int j=1;j<=2;j++)
			{
				for(int k=1;k<=2;k++)
				{
					ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*A.a[k][j]%mod)%mod;
				}
			}
		}
		return ans;
	}
	friend inline matrix operator ^(matrix A,ll b)
	{
		matrix e;
		e.a[1][1]=1;
		e.a[1][2]=0;
		e.a[2][1]=0;
		e.a[2][2]=1;
		while(b)
		{
			if(b&1)	e=A*e;
			A=A*A;
			b/=2;
		}
		return e;
	}
};
int main()
{
	n=read();
	if(n<=2)
	{
		printf("1");
		return 0;
	}
	matrix ans;
	ans.a[1][1]=1;
	ans.a[1][2]=1;
	ans.a[2][1]=1;
	ans.a[2][2]=0;
	ans=ans^(n-1);
	printf("%lld\n",ans.a[1][1]);
}