随机变量及其分布

最新推荐文章于 2025-03-22 13:52:56 发布

qq_39272695

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分类专栏：概率论与数理统计

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本文深入解析了随机变量的概念，包括其定义在样本空间中的作用，以及分布函数的数学定义。重点介绍了分布函数的性质，如单调性、极限值和连续性。此外，文章还详细讲解了离散型和连续性随机变量的分布律及概率密度函数，并列举了二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布等典型实例。

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随机变量及其分布函数

随机变量

在样本空间 $\Omega$ 上的实值函数 $X = X ($ $\omega)$ , $\omega$ $\varepsilon$ $\Omega$ ， $X 称为随机变量$

分布函数

对于任意的实数 $x$ ，记作函数 $F (x) = P$ { $X\leqslant$ $x$ }， $-\infty <x<+\infty$ ， $F (x)$ 为随机变量 $X$ 的分布函数，即事件 $\leqslant x$ 的概率

分布函数性质

$\leqslant F(X) \leqslant 1$ ， $F (X)$ 为单调不减函数
$\lim\limits_{x\to-\infty}F(X)=0$ ，记作 $F(-\infty)=0$ ， $\lim\limits_{x\to+\infty}F(X)=1$ ，记作 $F(+\infty)=1$
$F (X)$ 是右连续，即 $F (x + 0) = F (x)$
$P$ { $X < x$ } $= F (x - 0)$ ， $P$ { $X = x$ } $= F (x) - F (X - 0)$ ， $当 F (x) 在 x 处连续时$ ， $P$ { $X = x$ } $= 0$
$对于任意的 x$ ₁ $< x$ ₂， $P$ { $x$ ₁ $< X < x$ ₂ } $= F (x$ ₂ $- 0) - F (X$ ₁ $)$ ，
$对于任意的 x$ ₁ $< x$ ₂， $P$ { $x$ ₁ $<X\leqslant x$ ₂ } $= F (x$ ₂ $) - F (X$ ₁ $)$ ，
$对于任意的 x$ ₁ $< x$ ₂， $P$ { $x$ ₁ $\leqslant X<x$ ₂ } $= F (x$ ₂ $- 0) - F (X$ ₁ $- 0)$ ，
$对于任意的 x$ ₁ $< x$ ₂， $P$ { $x$ ₁ $\leqslant X\leqslant x$ ₂ } $= F (x$ ₂ $) - F (X$ ₁ $- 0)$ ，

离散型随机变量

$设离散型随机变量的取值 x$ ₁, $x$ ₂, $x$ ₃, $, . . ., x$ _n，
$X 的各种取值概率为 P$ { $X = x$ _k} $= p$ _k， $k = 1, 2, 3, . . . .,$

分布律用列表表示

X	x1	x2	x3	…	xn
P	p₁	p₂	p₃	…	p_n

离散型随机变量 $X$ 的分布函数

$P$ { $X = x$ _k} $= p$ _k， $k = 1, 2, 3, . . . .,$ ， $X 的分布函数为$
$F (x) = P$ { $X\leqslant x$ } $=\sum\limits_{ x_{k} \leqslant x}^{}p$ _k， $或者$
$F(x)=\left\{\begin{matrix}0, & x<x_{1}\\ p_{1}, & x_{1}\leqslant x<x_{2}\\ p1+p2, & x_{2}\leqslant x<x_{3}\\ ..... & ...... \end{matrix}\right.$

连续性随机变量

$如果对随机变量 X 的分布函数 F (x) ，存在一个肺腑可积函数 f (x) ，$
$使得对任意的实数 x ，都有$ $F(X)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt，-\infty<x<+\infty$ ， $f (x) 为 X 的概率密度$
$对于任意的实数x_1<x_2，有P$ { $x_1<X\leqslant x_2$ } $=\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt$
$在f(x)的连续点处有F(x)^{'}=f(x)$
$P$ { $x$ ₁ $< X < x$ ₂ } = $P$ { $x$ ₁ $<X\leqslant x$ ₂ } = $P$ { $x$ ₁ $\leqslant X<x$ ₂ } = $P$ { $x$ ₁ $\leqslant X\leqslant x$ ₂ } $=\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt$

常见分布

二项分布

13. $在 n 重伯努利实验中，若每次试验成功率为 p ，则在 n 次独立重复试验中$ $，随机变量 X 的分布律满足，$ $P$ { $X = k$ } $=$ $C_{n}^{k}$ $p^{k}q^{n-k}，k=0,1,2,.....,n$
13. $在 n 重伯努利实验中，若每次试验成功率为 p ，则在 n 次独立重复试$ $验中第 k 次发生的概率$ ， $C_{n-k+1}^{k-1}p^{k}$ $1-p)^{n-k+1}，k=1,2,3,...,n$

几何分布

$随机变量 X 的分布列为$ ， $P$ { $X = k$ } $=$ $pq^{k-1}，k=0,1,2,.....,n，即在第k次$ $实验时首次成功的概率服从几何分布$

超几何分布

$P$ { $X = k$ } $=$ $\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}，k=l_1,.....,l_2,$
$l_1=max(0,n-N+M),l_2=min(M,n)$ $N 件产品中有 M 件次品，从中任意取出 n 件， X = 取出的 n 件产品中次品$ $的件数服从超几何分布$

泊松分布

$如果随机变量 X 的分布列为$
$P$ { $X = k$ } $=$ $\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}，k=0,1,2,...,其中\lambda>0$
$则称随机变量服从泊松分布$

均匀分布

$随机变量 X 的概率密度为$
$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a}, &a\leqslant x\leqslant b或者a<x<b\\ 0, & 其他 \end{matrix}\right.$

指数分布

$随机变量 X 的概率密度为$
$f(x)=\left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x}, &x>0\\ 0 & x\leqslant0 \end{matrix}\right. \lambda>0$
$随机变量 X 的分布函数为$
$F(x)=\left\{\begin{matrix}1- e^{-\lambda x}, &x>0\\ 0 & x\leqslant0 \end{matrix}\right.\lambda>0$

正态分布

$随机变量 X 的概率密度为$
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}，-\infty<x<+\infty，即X$ ~ $N(\mu,\sigma ^2)，$
$当\mu=0，\sigma=0时$ $X 服从标准正态分布 X$ ~ $N (0, 1)$ ， $其概率密度为\varphi (x)$
$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}，-\infty<x<+\infty，$

常用性质

$X$ ~ $N(\mu,\sigma ^2)，F(x)=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})，\frac{x-\mu}{\sigma}$ ~ $N(0,1)，其中\Phi(x)为标准正态分$ $布的分布函数$
$当x_1<x_2时，P$ { $x_1<X\leqslant x_2$ } $=$ $\Phi(\frac{x_2-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{x_1-\mu}{\sigma})$
$\Phi(-x)=1-\Phi(x)，\Phi(0)=\frac{1}{2}$
$P$ { $|X|\leqslant a$ } $=2\Phi(a)-1，a>0$
$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt \pi$