23th 【树状数组】树状数组1&&2

                                       数状数组两种基本的用法

树状数组其实就是巧妙的利用了二分，有效记录一些段的值。

这图是网上找的，相当的好。

这些长条就是树桩数组记录的和值。

举个例子，想找数组1-11的和，只需要先加数状数组的11，在加10，最后加8。

可以看出来这就是一个每次分一半的数。

实现起来很简单但是有一些部分很巧妙，比如说lowbit，可以快速找到数的父节点或子节点。

不懂可以上网搜一下树状数组，图看懂了基本上就懂了。

首先是单点修改，区间求和。

【题目描述】：

如题，已知有N个元素组成的数列（下标从1开始计数），你需要进行下面两种操作：

1.将某一个数加上x

2.求出某区间每一个数的和

【输入描述】：

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含3个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1： 格式：1 x k 含义：将第x个数加上k

操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和

【输出描述】：

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。（输出不超过int类型）

【样例输入】：

5 5
1 5 4 2 3
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2
2 1 4

【样例输出】：

14
16

【时间限制、数据范围及描述】：

时间：1s 空间：128M

对于30%的数据：N<=8，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=100000，M<=100000

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int Maxn=100010;
int a[Maxn],t[Maxn];
int n,m,x,y,way,k;
inline int getint()
{
    int x=0;char c=getchar();int f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}
int lowbit(int x){

return x&(-x);

}

void update(int x,int val){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
	t[i]+=val;
}//修改

int sum(int x){
    int ans=0;
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
        ans+=t[i];
    return ans;
}//求和

int main(){
	//freopen("bintreeone.in","r",stdin);
	//freopen("bintreeone.out","w",stdout);
     n=getint();m=getint();
     for(int i=1;i<=n;i++)
     {a[i]=getint();
	  update(i,a[i]);}
     for(int i=1;i<=m;i++)
      {  way=getint();
         if(way==1){
            x=getint();
            y=getint();
            update(x,y);}    
        if(way==2){
            x=getint();
            y=getint();
            printf("%d\n",sum(y)-sum(x-1));
        }
    }
	return 0;
}

树状数组没有图讲不清楚，但是写起来相当简单，只要记住两个函数和一个lowbit就行了。

其次就是区间修改，单点查询。

为什么只能反过来呢，其实这里我们用差分数组保存，这样区间修改是两个点的修改，而单点查询即为差分数组复原也就是求和。

这样就能利用树状数组的结构了。

【题目描述】：

如题，已知一个数列（下标从1开始计数），你需要进行下面两种操作：

1.将某区间每一个数，加上x

2.获取某一个数的值

【输入描述】：

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含2或4个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k

操作2： 格式：2 x 含义：输出第x个数的值

【输出描述】：

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

【样例输入】：

5 5
1 5 4 2 3
1 2 4 2
2 3
1 1 5 -1
1 3 5 7
2 4

【样例输出】：

6
10

【时间限制、数据范围及描述】：

时间：1s 空间：128M

对于30%的数据：N<=8，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=100000，M<=100000

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int Maxn=100010;
int a[Maxn],t[Maxn];
int n,m,x,y,way,k;
inline int getint()
{
    int x=0;char c=getchar();int f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}
int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}

void update(int x,int val){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
	t[i]+=val;
}

int sum(int x){
    int ans=0;
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
        ans+=t[i];
    return ans;
}

int main(){
	//freopen("bintreetwo.in","r",stdin);
	//freopen("bintreetwo.out","w",stdout);
     n=getint();m=getint();
     for(int i=1;i<=n;i++)
     { a[i]=getint();
	   update(i,a[i]-a[i-1]);}
	  
     for(int i=1;i<=m;i++)
      {  way=getint();
         if(way==1){
            x=getint();
            y=getint();
            k=getint();
            update(x,k);
			update(y+1,-k);}    
        if(way==2){
            x=getint();
            printf("%d\n",sum(x));
        }
    }
	return 0;
}