动态规划总结

动态规划算法是用来解决一类最优化问题的算法思想，比如说你运用了一个算法解决了一个问题，但是呢，这个算法时间复杂度比较高，那么我们如何进行优化降低它的时间复杂度呢？当然优化算法有很多种，这里运用动态规划算法来进行优化，使用动态规划可以让时间复杂度降到最低，因为它是用来解决一类最优化问题的算法思想。

那么我们如何判断某一类问题的求解可以运用动态规划呢？？？

 首先，我们需要了解下面两组概念：重叠子问题 和 最优子结构

重叠子问题：如果一个问题的求解可以被分为若干个子问题的求解，且这些子问题会不断的重复出现，那么就称这个问题拥有重叠子问题【一般我们解决重叠子问题的时候，会利用dp数组将这些子问题的解存放起来，当下次用到，就直接调用dp数组，而不用又去重新求解，浪费时间---->这种解法我们称之为记忆化搜索，记忆化搜索常用递归去实现：比如斐波那契数列递归记忆化搜索、01背包问题运用递归记忆化搜索等等，，，我们也称之为动态规划的递归写法】

最优子结构：如果一个问题的最优解可以由其子问题的最优解有效构造/递推出来，那么称这个问题拥有最优子结构【对于这种拥有最优子结构的问题解法，我们往往可以利用递推去解决，即利用dp数组进行递推，比如背包问题，数塔问题，最长公共子序列问题，DAG最长路的求解，最长回文字串问题等等，，我们称之为动态规划的递推写法】

 

 我们一般可以使用递归或者递推的写法来实现动态规划，其中递归写法在此处又称作记忆化搜索

动态规划用递归去实现的计算方式是自顶向下，即从目标问题开始，将它分解成子问题的组合，直到分解至边界为止（利用dp数组记录子问题的解，以便下次调用的时候直接返回dp记录的结果）

动态规划用递推去实现的计算方式是自底向上，即从边界开始（利用dp数组进行初始化，即考虑边界情况，在边界，dp数组是可以确定的）不断向上解决问题，直到解决了目标问题

综上：一个问题需要拥有重叠子问题或最优子结构的性质，方可运用到动态规划算法去进行优化。

 

下面请自行思考以下两个问题：

1、分治与动态规划有什么区别？ 

      相同点：它们都是将原问题划分成规模较小的子问题，最后合并子问题的解得到元问题的解

     不同点：动态规划解决的问题拥有重叠子问题，而分治没要求（比如归并排序，快速排序等，求解过程中是不出现重叠子问题的，因此它们那种求解方法叫分治法，而不是动态规划解法），不拥有重叠子问题的动态规划解法那就叫分治了，而不叫动态规划。另外，分治法解决的问题不一定是最优的，但是动态规划解决的问题一定是最优化问题

2、贪心与动态规划又什么区别？

      首先，贪心和动态规划都要求原问题拥有最优子结构，贪心算法采用计算方式是自顶向下，贪心是一种壮士断腕的决策，只要进行了选择，就不会后悔，显然这种算法"最优选择"的正确性需要一定的数学归纳法证明。以数塔问题为例，数塔问题虽然具有最优子结构，但是如果采用贪心算法去解决，这种所谓的"最优选择"是错误的，最后并不能得到正确的解法。

 

下面我们探讨如何利用动态规划？？？

对于动态规划可以解决的问题，总会有很多设计状态的方式，因此我们必须设计一个具有无后效性的状态以及状态转移方程 

 多阶段动态规划问题

以背包问题为例：

我们的常规解法是利用递归去求解，其时间复杂度达到了2的n次方，但我们仔细发现，此问题拥有重叠子问题呀！！！（可自行画出递归图）那么我们肯定就可以利用动态规划去解决了，就是利用dp数组记录子问题解，当遇到此子问题，直接return dp[i]就行了 ，这叫做动态规划的递归实现（也叫记忆化搜索）我们再仔细研究研究，我们可以从记忆化搜索出发推导出递推式（对动态规划熟练的话，可以直接判断出此类背包问题存在最优子结构，可自行写出递推式），这样就可以采用动态规划的递推写法（只需要两个for循环即可搞定）。

有时候我们在解决一个问题的时候，如果设计出来的算法时间复杂度很高，确实要考虑看一下能否用动态规划算法去进行优化（主要看此类问题是不是重叠子问题 或 最优子结构）如果能用dp，则就需要设计状态 和 设计具有无后效性的状态转移方程了。设计技巧：如果当前设计的状态下不满足无后效性，那么不妨把状态进行升维，即增加一维或若干维来表示相应信息，这样可能就满足无后效性了！ 

比如：01背包问题中，如果dp数组只是一维，那么无法设计出递推式，我们可以考虑：（既然题目上是说将n件物品放入容量为v的背包中，是否能考虑将n作为一个维度，v又作为一个维度呢？）将dp上升到二维dp[i][j]。