欧拉公式的证明-泰勒展开法

伟大的马师兄

已于 2023-10-10 13:27:24 修改

阅读量657

点赞数

分类专栏：信号系统文章标签：欧拉公式电路信号处理信号系统控制

于 2023-08-11 00:16:24 首次发布

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_38967414/article/details/132221167

版权

信号系统专栏收录该内容

1 篇文章

订阅专栏

欧拉公式

欧拉公式在理工科有着广泛的应用和影响。

$e^{ix} = \cos x + i\sin x$

特别地，当 $x = \pi$ 时， $e^{i\pi } = -1$ ，巧妙地将自然对数底数 $e$ ，圆周率 $\pi$ ，虚数单位 $i$ ， $-1$ 写进一个公式。

证明

由泰勒公式：

$\because e^{x} = \Sigma_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{1}{2}x^{2} + ...$

$\therefore e^{ix} = \Sigma_{n=0}^{+\infty}\frac{(ix)^{n}}{n!}$

即

$e^{ix} = 1 + ix - \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{3!}ix^{3} +...$

提取奇偶次项：

$e^{ix} = (1 - \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} - \frac{1}{6!}x^{6} + ...) + i(x - \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{5!}x^{5} - ...)$

即

$e^{ix} = \cos x + i\sin x$

补充：

或许你感觉 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ 与 $e^{i\pi } = -1$ 很抽象，这需要去理解复数乘法在复平面的意义，欧拉公式会更形象一点，但个人感觉这并不重要，工程中会使用就行。

此外，欧拉公式还可用导数法、极坐标法等方式来证明。

评论

被折叠的条评论为什么被折叠?

到【灌水乐园】发言

查看更多评论

添加红包

成就一亿技术人!

hope_wisdom

发出的红包

打赏作者

伟大的马师兄 你的鼓励将是我创作的最大动力

¥1 ¥2 ¥4 ¥6 ¥10 ¥20

扫码支付：¥1

获取中

扫码支付

您的余额不足，请更换扫码支付或充值

实付元

使用余额支付

点击重新获取

扫码支付

钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。