蓝桥杯——ALGO-1007——印章_共有n种图案的印章,每种图案的出现概率相同。小a买了m张印章,求小a集齐n种印章的-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_38959366/article/details/123432196

博客探讨了一种概率问题，涉及相同概率出现的n种印章，求在购买m张印章后集齐所有图案的概率。通过动态规划和循环实现解题，分析了不同情况下的概率计算，包括印章数小于图案数时的概率为0，以及不同图案出现情况的概率计算。最终给出了Python代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述如下：

问题描述

　　共有n种图案的印章，每种图案的出现概率相同。小A买了m张印章，求小A集齐n种印章的概率。

输入格式

　　一行两个正整数n和m

输出格式

　　一个实数P表示答案，保留4位小数。

样例输入

2 3

样例输出

0.7500

解法：

看着dp就感觉很难，参考完解析发现是可以想通的。自己做这样的题目，慢慢摸索出了技巧。

技巧就是：一支笔和一张草稿纸

也看到递归的解法，不够这里讲的是循环。

dp的状态转换可以看成是当印章数量i和图案种类j变化时，对应当前状态下集齐所以图案的概率dp。

首先，我们要明确符号代表的含义：
m，n表示输入的m个印章和需要收集的n种图案
dp[i][j] 表示第i个印章和已经收集j种图案时，完成收集全部n种图案的概率
n个印章类别，期望p=1/n

好的，可以对问题进行分情况讨论了

i<j: 当印章数i比图案种类j小的时候，说明。。。说明不可能收集n种图案，即dp=0（很容易想通）
j==1 当图案种类就1种时，有两种情况：
1. i==1 当印章数也等于1时，一个印章对应一个图案。此刻的dp肯定是1啊，即dp=1
2. i>1 当印章数大于1时，这个就有点点绕人了，先上结论，dp= $p^{i}\times n$ = $p^{i-1}$ .因为你要保证印章数大于1且图案种数也为一，说明全部都是一种图案，比如都是A，所以概率都是p。 i个数概率自然是 $p^{i}$ 。都是B呢？，自然还是 $p^{i}$ 。都是C呢，D呢？都是 $p^{i}$ 。总共几种可能？答案是n种。所以dp= $p^{i}\times n$ = $p^{i-1}$
其他情况，就可以分为两大类了
1. dp[i][j]中第j个印章代表的图案已经出现过，比如抽奖抽到之前抽中的商品。此时. dp[i][j]=dp[i-1][j](没抽奖之前的概率)*(p*j)(抽奖抽中之前抽过的商品的概率)
2. dp[i][j]中第j个印章代表的图案没有出现过，比如抽奖抽到新的商品。此时 dp[i][j]=dp[i-1][j-1](没抽奖之前的概率)*(p*n-(j-1))(抽奖抽中新商品的概率)

代码中可以发现 2.1和2.2的情况被一个公式合并了

dp[i][j]=p**(i-1)

是因为。一个数的0次方========1

直接上代码吧！

代码：

n,m=map(int,input().split())
p=1/n
# i个印章,j种图案，  概率dp
dp=[[0 for j in range(n+1)] for i in range(m+1)]
for i in range(1,m+1):
    for j in range(1,n+1):
        if i<j:
            dp[i][j]=0
        if j==1:
            dp[i][j]=p**(i-1)
        else:
            dp[i][j]=dp[i-1][j]*(j*p)+dp[i-1][j-1]*p*(n-(j-1))
print("{:.4f}".format(dp[m][n]))