51nod 1240 莫比乌斯函数

最新推荐文章于 2022-09-26 00:17:08 发布

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本文介绍了51nod第1240题的莫比乌斯函数解题思路。通过分析错误的暴力解法导致的内存问题，提出通过质因数分解优化算法，利用算术基本定理简化计算，减少内存使用。代码实现中，初始化变量cnt为1的小细节优化了循环条件，使得程序运行时间为15ms，占用内存1.7MB。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目信息

莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)（miu(n)）作为莫比乌斯函数的记号。（据说，高斯(Gauss)比莫比乌斯早三十年就曾考虑过这个函数）。
具体定义如下：
如果一个数包含平方因子，那么miu(n) = 0。例如：miu(4), miu(12), miu(18) = 0。
如果一个数不包含平方因子，并且有k个不同的质因子，那么miu(n) = (-1)^k。例如：miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。
给出一个数n, 计算miu(n)。
Input
输入包括一个数n，(2 <= n <= 10^9)
Output
输出miu(n)。

此题我在比赛的时候没有细想,其实这个题解题思路非常简单,打表完全可以解决……吧.像我这种不动脑子或者抱着侥幸心理的人这么一想,写了一发代码,直接爆内存 2个大小为10亿的数组,就算是bool类型也已经完完全全的Memory Limit Exceed,如果你将它压缩到50000000,会发现自己通过了14个样例(一共20个),也就是这个思想没问题,但是在数据范围下这个范围就完全行不通了.

在看了一位学长的代码后,就感觉到自己思维被碾压了
代码如下:

#include<cstdio>
    #include<cstdlib>
    #include<cmath>
    #include<cstring>
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    #include<queue>
    #include<map>
    #include<stack>
    #include<set>

    using namespace std;
    typedef long long ll;
    typedef unsigned long long ull;
    const int MAX_N=100000;

    int main()
    {
        ios::sync_with_stdio(false);
        ll n;
        int flag;
        int cnt;
        while(cin>>n){
            cnt=1;//i*i忽视了最后一个质数,所以cnt初始值为1
            flag=0;
            for(ll i=2;i*i<=n;i++){//由于i是递增的,所以只会忽视最后一个
                if(n%i==0){
                    cnt++;
                    n=n/i;//由于所有数都可以转化成质数的乘积,从小到大,所以可以这么写,不打表
                    if(n%i==0){//同除两次即为平方关系
                        flag=1;
                        break;
                    }
                }
            }
            if(flag)
                cout<<"0"<<endl;
            else{
                if(cnt%2==1)
                    cout<<"-1"<<endl;
                else
                    cout<<"1"<<endl;
            }
        }

        return 0;
    }

这个代码我觉得仅仅依赖了算术基本定理:任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积.那么就从小到大找他的质因子,找到一个就除一个如果还能被除掉就说明是平方因子,直接跳出循环输出,此外还有一个亮点就是它的cnt初始化为1,这里是因为它吧for循环的执行条件优化了.

for(ll i=2;i*i<=n;i++)

注意到这里是i*i<=n 而n是不断被除的,我们可以考虑一下最后一个数,他必然是最后一个质因子=质因子,因为再除n就等于1了,而这种情况不在循环范围内,那么我们在考虑倒数第二个质因子的情况,n为最后一个质因子和倒数第二个质因子的乘积,而i是倒数第二个质因子的平方,由于循环是递增的,所以前者必然大于后者,在循环条件里,故cnt初始化值为1

这份代码运行时间:15ms 占用内存 1.7m

希望一年后的我也能成为这样的大佬..