51nod 1040 最大公约数之和

最新推荐文章于 2019-10-24 21:39:12 发布

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分类专栏：基础数论欧拉函数 51nod 文章标签：数论

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本文详细解析了求解1至N各数与N的最大公约数之和的问题，通过枚举因子与欧拉函数计算，提供了一个高效算法实现。以n=15为例，展示了如何快速计算其最大公约数总和。

1040 最大公约数之和

1 秒
131,072 KB
80 分
5 级题

给出一个n，求1-n这n个数，同n的最大公约数的和。比如：n = 6

1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6，加在一起 = 15

收起

输入

1个数N(N <= 10^9)

输出

公约数之和

输入样例

输出样例

题目很简单，我们可以知道一个数的gcd一定是这个数的因子，现在我们来观察，比如15

1,2,4,7,8,11,13,14 这几个数和15的gcd都是1

3,6,9,12 这几个数和15的gcd都是3

5,10 这几个数和15的gcd都是5

15 这个数和15的gcd都是15

所以gcd之和是1 * 8 + 3 * 4 + 2 * 5 + 1 * 15 = 45

我们可以枚举因子i，那么gcd(x,n) = i ，假如gcd(i,n) = x有y个，那么i这个因子所做的贡献和就是y * i

又∵gcd(i,n) = x ∴gcd(n / i,x / i) = 1 因为x是n的约数，也是i的倍数，那么问题现在就转变成，枚举i，来求1到n / i中与n / i 互质的数有多少个，用欧拉函数算即可（突然发现自己一直保存的phi的模板出锅了，我把res写成x了，找了一万年的错误）

#include <bits/stdc++.h>
#include <time.h>
#define first fi
#define second se


using namespace std;

typedef long long ll;
typedef double db;
int xx[4] = {1,-1,0,0};
int yy[4] = {0,0,1,-1};
const double eps = 1e-9;
typedef pair<int,int>  P;
const int maxn = 600  ;
const ll mod = 1e9 + 7;
inline int sign(db a) {
    return a < -eps ? -1 : a > eps;
}
inline int cmp(db a,db b) {
    return sign(a - b);
}
ll mul(ll a,ll b,ll c) { ll res = 1; while(b) {  if(b & 1) res *= a,res %= c;  a *= a,a %= c,b >>= 1;  }  return res;}
ll phi(ll x) {  ll res = x;  for(ll i = 2; i * i <= x; i++) { if(x % i == 0) res = res / i * (i - 1);   while(x % i == 0) x /= i;   }  if(x > 1) res = res / x  * (x - 1);    return res;}
ll c,n,k;
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    while(cin >> n) {
        ll ans = 0;
        for(ll i = 1; i * i <= n; i++) {
            if(n % i == 0) {
                ans +=  i  * phi(n / i) ;
                if(i != n / i)
                    ans += (n / i) * phi(i);
            }
        }
        cout << ans << endl;
    }
    //cout << "time: " << (long long)clock() * 1000 / CLOCKS_PER_SEC << " ms" << endl;
    return 0;
}