【bzoj2302】【HAOI2011】problem c

最新推荐文章于 2019-05-19 11:42:23 发布

原创最新推荐文章于 2019-05-19 11:42:23 发布 · 281 阅读

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#bzoj #c++ #省选

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本文介绍了一种使用动态规划(DP)解决特定站位问题的方法，该问题涉及在一条链上安排人员站位，同时考虑到部分人员位置已被预设的情况。通过定义状态转移方程并实现递归过程，最终求得所有合法站位方案的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

有一条长度为 $n$ 的链和 $n$ 个人，每个人有一个编号 $a_i$
从第一个人开始往后，每个人首先站在 $a_i$ 号点上，如果此点有人，那么就往后站， $a_i+1，a_i+2，……$ 一直到 $n$ 号点，如果这个人依旧没有站好，则该方案不合法
已知有 $m$ 个人确定了编号（编号可以相同），求合法的方案数

解法

$DP$ ：
设 $f_{i，j}$ 表示编号 $≤i$ 的有 $j$ 个人时的方案数， $q_i$ 表示编号为 $i$ 的人有多少个， $s_i$ 表示编号 $≤i$ 的人可以（最多）有多少个
首先判断是否有合法的方案：如果 $∃i∈【1，n】$ ，有 $sum_i<i$ ，那么不存在合法方案，即对于 $∀i∈【1，n】$ ，都要求 $sum_i≥i$
然后开始进行递推：

$f i ， j = \sum k = q i j - i + 1 f i - 1, j - k * C k - q i s i - q i - (j - k)$ $f_{i，j}=\sum_{k=q_i}^{j-i+1} f_{i-1,j-k}*C_{s_i-q_i-(j-k)}^{k-q_i}$
现在有 $s_i$ 个人， $q_i$ 个人已经确定必须选， $j−k$ 个人已经选完了，在剩下的人中选出 $k−q_i$ 个人使其编号为 $i$
最后 $f_{n，n}$ 就是答案

复杂度

O（ $T*n^3$ ）

代码

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define Lint long long int
using namespace std;
const Lint INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=310;
Lint c[MAXN][MAXN],f[MAXN][MAXN];
int s[MAXN],q[MAXN];
int n,m,M,T;
void Prepare()
{
    c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)   c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%M;
    }
}
bool init()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        s[i]=s[i-1]+q[i];
        if( s[i]<i )   return false ;
    }
    return true ;
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while( T-- )
    {
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&M);
        Prepare();
        memset( f,0x0,sizeof f ),memset( q,0x0,sizeof q );
        for(int i=1,u,x;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&u,&x);
            q[x]++;
        }
        s[0]=n-m;
        if( !init() )   { printf("NO\n");continue ; }
        f[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=s[i];j>=i;j--)
                for(int k=j-i+1;k>=q[i];k--)
                    f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-k]*c[s[i]-q[i]-(j-k)][k-q[i]])%M;
        printf("YES %lld\n",f[n][n]);
    }
    return 0;
}