【每日一题】Leetcode 560

560. 和为k的子数组

给定一个整数数组和一个整数 k，你需要找到该数组中和为 k 的连续的子数组的个数。

示例

输入:nums = [1,1,1], k = 2
输出: 2 , [1,1] 与 [1,1] 为两种不同的情况。

说明 :

1. 数组的长度为 [1, 20,000]。
2. 数组中元素的范围是 [-1000, 1000] ，且整数 k 的范围是 [-1e7, 1e7]。

解题思路

参照❤带你打通【前缀和】从最笨方法 一步步优化，这篇题解已经是挺通俗的了，把最笨最容易的办法都列了出来。个人觉得比官方题解更好懂。他是采用Java实现的，这里换做Python实现。

1. 暴力硬解法
   直接就是设置i, j两个下标，遍历数组框出子数组，逐一求和，发现和为k计数器+1。时间复杂度是i对映一个n，j对映一个n，累加一个n，所以是O(n³)。对于Python这种语言来说简直是灾难。放弃（×）改进（√）

2. 去除重复运算
   累加的过程其实有冗余：既然已经算过从i到j，那么算i到j+1的时候直接把之前的结果加上nums[j+1]就可以。这个地方可以省去一个n，复杂度降到O(n²)。

3. 利用前缀和+map（Python中的字典）
   前缀和：从 第 0 项 到 当前项 的 总和
   说通俗点其实就是高中的数列求和吧，n > m, Sn - Sm = 从m+1项一直累加到第n项。

nums[i]+…+nums[j]=prefixSum[j]−prefixSum[i−1]

原题解中的这一步，i作为数组下标是可以等于1的，i-1也就可以等于-1了。那么prefixSum[-1]是没有任何有意义的数字，需要把它的值人为定为0，确保不影响后面的计算。这就导致在初始化字典的时候，需要加入一个{0 : 1}.

后面的部分我是这么理解的：相当于一把刻度不均的尺子（因为数组元素有大有小），每往后走一格（加求一个前项和），就与前面已有的所有刻度比较一下，看看这之间的距离是不是我们要找的k。如果有，就给计数器+1（这里实际上是字典值而不是1）；没有继续找下一个刻度。

或者换一种说法，拿一个长度为k的小木棒在刻度不均的尺子上滑动，小木棒右端始终与下一个刻度线对齐，看小木棒的左端能不能恰好与之前的某一个刻度线对齐，有了就记下一笔。

这里的一笔到底是几呢？用现实生活中的尺子来看的话那就是1；但是数组是允许有负数的，尺子没有负距离，所以要按照前项和出现的次数来加上。

最后，附上按照这个思路写出来的Python代码：

class Solution:
    def subarraySum(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        if len(nums) == 0:
            return 0
        pfmap = {0 : 1}
        prefixSum = 0
        count = 0
        for num in nums:
            prefixSum += num
            if prefixSum - k in pfmap:
                count += pfmap[prefixSum - k]
            if prefixSum in pfmap:
                pfmap[prefixSum] += 1
            else:
                pfmap[prefixSum] = 1
        return count

PS思考题：这里到底是什么步骤使得复杂度又减少了一层n呢？
答：第一，用了字典来代替罗列出来的所有子数组，使得检索范围变小；
第二，

if prefixSum - k in pfmap

这一句里实际上也有检索，它的内存消耗较少是得益于检索范围小or语言本身的优化？希望有大佬给指点迷津。

最后

相比于前两篇，这是一篇自己想法解释比较多的一篇题解，主要是为了自己好理解记忆。如果有写的不正确、不准确的地方，欢迎各位指点！