傅里叶级数的奇偶延拓

咫尺云天

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文章标签：信号处理数学建模傅立叶分析 python

于 2020-05-19 05:48:41 首次发布

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本文探讨了傅里叶级数在处理不明确周期问题时，直接求解和利用奇偶延拓方法的关系。以函数f(x)=1-x^2为例，详细阐述了两种方法的计算过程，并指出奇偶延拓适用于偶函数。通过对比，解释了两种方法如何在不同区间表示同一函数，并提供了作图代码作为辅助理解。

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复习高数，突然想到傅里叶级数的奇偶延拓求法和直接求有什么关系
出现这种疑问是因为总有些不明确周期的题，让人傻傻分不清
于是折腾了一晚上，终于搞清楚了，做个笔记以防忘记

以 $f(x)=1-x^2$ 其中 $x⊂[0,π]x\subset[0,\pi ]$ 为例
直接求取法
直接对函数进行周期延拓，周期为 $π\pi$ ，相应频率为2n，则：
$a0=2π∫0π(1−x2)dx=2(1−π23)a_0=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (1-x^2)dx=2(1-\frac{\pi^2}{3} )$
$an=2π∫0π(1−x2)cos(2nx)dx=−1n2a_n=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (1-x^2)cos(2nx)dx=-\frac{1}{n^2}$