本文详细介绍了拉格朗日乘子法在等式约束和不等式约束条件下的应用，包括如何构建拉格朗日函数以及求解过程。同时，阐述了Karush-Kuhn-Tucker (KKT)条件在处理不等式约束时的作用，证明了在一定条件下原问题和对偶问题解的一致性。通过总结关键公式，为理解和应用拉格朗日乘子法提供了清晰的指导。
拉格朗日
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等式约束
等式约束条件下的拉格朗日乘子法的一般形式可以表现为：
m i n f ( x ) , s . t . h k ( x ) = 0 , k = 1 , 2 , . . . , l min f(x),\ \ \ \ s.t.\ \ h_k(x) = 0 ,k = 1,2,...,l minf(x), s.t. hk(x)=0,k=1,2,...,l
解决方法为乘子法：
首先定义拉格朗日函数 F ( x , λ ) F(x,\lambda) F(x,λ)
F ( x , λ ) = f ( x ) + ∑ k = 1 l λ k h k ( x ) F(x,\lambda) = f(x) + \sum_{k=1}^{l}\lambda_kh_k(x) F(x,λ)=f(x)+k=1∑lλkhk(x)
接下来求解下述方程组
∂ F ∂ x = 0 , ∂ F ∂ λ k = 0 , k = 1 , 2 , . . . , l \frac{\partial F}{\partial x} = 0,\frac{\partial F}{\partial \lambda_k} = 0,k = 1,2,...,l ∂x∂F=0,∂λk∂F=0,k=1,2,...,l
共有 l + 1 l+1 l+1 个方程，将 x , λ k , k = 1 , 2 , . . . , l x,\lambda_k,k=1,2,...,l x,λk,k=1,2,...,l求解出来，即得到最优解。
不等式约束 & KKT条件
等式约束条件下的优化问题的一般形式可以表现为：
m i n f ( x ) min f(x) minf(x)
s . t . h j ( x ) = 0 , j = 1 , 2 , . . . , p s.t.\ \ h_j(x) = 0,j = 1,2,...,p s.t. hj(x)=0,j=1,2,...,p
g k ( x ) ≤ 0 , k = 1 , 2 , . . . , q g_k(x)\leq 0 ,k = 1,2,...,q gk(x)≤0,k=1,2,...,q
则此时的拉格朗日函数为 L ( x , λ , μ ) L(x,\lambda,\mu) L(x,λ,μ)
L ( x , λ , μ ) = f ( x ) + ∑ j = 1 p λ j h j ( x ) + ∑ k = 1 q μ k g k ( x ) L(x,\lambda,\mu) = f(x) + \sum_{j=1}^{p}\lambda_jh_j(x) + \sum_{k=1}^{q}\mu_kg_k(x) L(x,λ,μ)=f(x)+j=1∑pλjhj(x)+k=1∑qμkgk(x)
下面给出 K K T KKT KKT</
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