应用随机过程-复习笔记-Chapter4-关于期望的各态历经性习题答案

使用教材

本文使用教材：《工科研究生教材·数学系列·应用随机过程》何春雄 编；华南理工大学出版社

第四章习题

A7. 设随机过程
ξ={ξ(t)=Acos(ω0t+Φ),t∈(−∞,∞)} \xi = \{ \xi(t) = Acos(\omega_0 t + \Phi) ,t\in(-\infty, \infty)\} ξ={ξ(t)=Acos(ω0​t+Φ),t∈(−∞,∞)}
其中 ${\omega }_0$是常数，$A$与$\Phi$是相互独立的随机变量，$\Phi$服从区间$[0,2\pi ]$上的均匀分布。试问$\xi$是否具有各态历经性？

解：
这里只验证关于期望的各态历经性，不验证关于相关函数的各态历经性。

根据教材中的定理4.3.3（p109）：

定理4.3.3 设ξ={ξ(t),t∈(−∞,∞)}\xi = \{ \xi (t), t \in (-\infty, \infty )\}ξ={ξ(t),t∈(−∞,∞)} 为均方连续的平稳过程，则$\xi$关于均值具有各态历经性的充要条件是：
${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{2T}{\int }_{-2T}^{2T}(1-\frac{|\tau {|}^2}{2T})[R_{\xi }(\tau )-|m_{\xi }{|}^2]d\tau =0$

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A8. 设随机过程
ξ={ξ(t)=Acost+Bsint,t∈(−∞,∞)} \xi = \{ \xi(t) = Acost + Bsint ,t\in(-\infty, \infty)\} ξ={ξ(t)=Acost+Bsint,t∈(−∞,∞)}
其中 $A$与$B$是零均值不相关的随机变量，且$E[A^2]=E[B^2]$。试证$\xi$关于数学期望具有各态历经性，而关于相关函数不具有各态历经性。

解：
这里只验证关于期望的各态历经性，不验证关于相关函数的各态历经性。

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A11. 设随机过程
ξ={ξ(t)=Acos(ω0t+Φ),t∈(−∞,∞)} \xi = \{ \xi(t) = Acos(\omega_0 t + \Phi) ,t\in(-\infty, \infty)\} ξ={ξ(t)=Acos(ω0​t+Φ),t∈(−∞,∞)}
其中$A$、$\omega$、$\Phi$是相互独立的随机变量，而$A$的均值为2， 方差为4；$\Phi$在$(-\pi ,\pi )$上均匀分布；$\omega$在$(-5,5)$上均匀分布。试求$\xi$是否平稳？是否具有各态历经性？

注意：流传的答案的解法是不正确的

以下的解法是用期望遍历性的定义去验证的，
但是用定义验证是麻烦的，
以下解法把均方积分当成了普通积分进行求解，是不正确的，
均方积分≠普通积分（虽然在大多数情况下两者算出来的结果是一样的，但过程是不同的）

定义4.3.2 设ξ={ξ(t),t∈(−∞,∞)}\xi=\{\xi(t), t \in (- \infty, \infty)\}ξ={ξ(t),t∈(−∞,∞)}为均方连续的平稳过程。若： $$\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T\xi (t)dt\stackrel{L^2}{}{m}_{\xi }(T\to \infty )$$则称$\xi$关于均值具有各态历经性。若对任意$\tau \in (-\infty ,+\infty )$有
$$\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T\xi (t)\overline{\xi (t-\tau )}dt\stackrel{L^2}{}{R}_{\xi }(\tau )(T\to \infty )$$
则称$\xi$关于相关函数具有各态历经性。