数学学习（高中篇）

看了一本书，教授我们为什么数学学不好，要想学好数学应该掌握哪些学习方法的书，感觉很有意义，就总结如下。
不过经过思考，所谓应试教育还是要针对性练习的，这里是数学，不是考试，考试所考的数学经过“严谨，科学”，已经不是自然数学，是人工数学。不过这里的思想方法，依然值得借鉴，或许可以实现降维打击。
主动，这或许就是最为重要的吧。

序言：为什么你的数学不好

• 报考理工大学所需要的能力
  （1）把自己的鞋子都收拢起来，放到指定的鞋箱子里面；
  （2）遇到不明白的字词，要拿出辞典来查一查；
  （3）学会做咖喱饭（不会的话可以照着食谱学）；
  （4）绘制一张从家到最近车站的地图。
• 4件事情所代表的的4项基本能力
  • 掌握对应的概念
  • 能够理清顺序关系
  • 能够对事情的步骤进行整理、实行和观察
  • 抽象能力的表现
• 我们都具备以上能力，但是还是没有学好数学，因为我们没学好数学的原因是因为我们掌握的学习方法的错误。
• 方法论
  • 无需死记硬背
  • 抓住故事的梗概
  • 学会将所学的知识教给别人
• 学习数学的必要性
  • 通过对数学的学习，可以培养一个人的逻辑判断能力（即数学的思考能力），也就是说，能够让人有条理的来分析事情。而掌握了逻辑判断分析的能力之后，可以让别人接受自己的意见，也可以理解别人所提出的不同的意见。
• 文科生更应该有一个好的数理思维
  • 语文成绩好，数学更应该不会差。

第一部：应该怎样学数学

• “学习数学的诀窍就在于记不住这三个字。”深层次含义：当人们想要记住某件事情的时候，他就不再思考了。

• 值得深思的问题，当我们形成思维定式的时候，我们还关心这些问题吗？

  • 为什么是这样？
  • 为什么要用这种方法
  • 真的是这样吗？

• 学习数学的好处

  • 提高一个人的数学水平，就是在提高一个人的逻辑判断能力。通过对数学的学习，使你能够发现事物的内在规律和本质。
  • 在这里，请让我引用一段我最喜欢的爱因斯坦的名言：“能忘掉在学校学到的知识，才算是教育。因为在校园里接受的只是最基础的教育，学到的只是书本上的知识。要想真正学到人生最有用的知识，就要自己去感悟，在实践中获得经验与灵感。”

• 不去记忆解题方法（很难想象，对解题方法的记忆，是应试教育多么核心的组成，这点是最不适合应试的吧，有数学大佬说他不是从记忆公式开始学习数学的吗、、、）

• 代替死记硬背的方法

  • 多想一想“为什么”
    • 当你弄明白哪些地方是你不明白的时候，那么这就意味着，答案已经离你不远了。很多人就会出啥都不明白，就多问为什么，从宏观到微观，从整体到局部，慢慢就全都理解了。
  • 添加“新的语意”
    • 记忆技巧
    • 当我们在学习新知识的时候，想一想如何才能把新学到的知识和已经掌握了的知识联系起来，这样你就不容易忘掉它。要想把某一个知识单独的从脑海当中提取出来并不容易。然而，如果你能把这个知识和其他的知识联系起来，那么想起来就容易得多。
  • 不仅仅是“知识”，更要多一些“智慧”
    • 人们可能会忘掉知识，却不可能忘掉智慧。
    • 不理解内涵的数学公式，死记硬背毫无意义，理解内涵的数学公式，记忆起来信手拈来。（貌似很难真正按这个方法做事，因为有些数学属于超纲内容，但是我为什么就认为超纲的我就不能主动稍微进一步理解一点呢？）

• 对定理和公式进行验证

  • 从事物的本质上来说，结果并不是最关键的，重要的是它的过程。
    就好比说金字塔，当我们看到金字塔的时候，会有一种敬畏的感觉，这是为什么呢？是因为金字塔看上去特别的宏伟壮观吗？我不是这么认为的。在当今的科技产业下，比金字塔看上去更加宏伟、更加壮观的现代建筑是数不胜数。这是因为几千年前的人类在当时的科技水平下，就能够创造这样的奇迹，我们为此而感到震惊。更进一步的说，在当时的时代背景之下，那些石头是怎样堆积上去的，这一点让人感到神秘和不可思议。要说金字塔真正的价值，无非就是它的建造方法。
    那些数学公式和定义也是同样的道理。它们的本质并不在于结果的完美和得到结果的便捷，而是在于它是如何得出的，是如何推演的，这样一个验证的过程。
  • 定理和公式是“人类智慧的结晶”
    • 从小学到初中再到高中，总共是12年。在这12年的教学计划当中，包含了数学史上5000多年以来的最重要也是最完美的数学定义和公式。每一个时代都有在当时世界上最顶尖的数学家，而我们在小学、初中和高中时代所学的数学定义和公式，实际上已经涵括了所有这些人的智慧的结晶。这些数学定义和公式的结果并不是智慧的本质，而本质的体现，就在于推算的过程。
    • 在验证过程中当有所感动（知识诅咒，体会其中的美）
  • 通过验证提高“数学的能力”
    • 在学习数学的过程当中，如果说有什么东西是值得背下来的话，那么就只有一个：对定义和公式的验证方法。
      有一句话是我们耳熟能详的，无论多么天才的发明和创造，最初也是从模仿开始的。就算是公认的天才莫扎特，也需要海顿老师的教导。既然要模仿，那就应该模仿最好的、最顶级的。因此，我们才要去学会如何验证那些数学天才们留下来的定义和公式。在验证的过程当中，能够感觉得到，他们所留下来的逻辑理论，都会变成属于你自己的东西。到那个时候，你就真正的掌握了数学的能力

• 对勾股定理的验证

• 对2次公式的验证

• 找到灵光一闪的原因（10大思路）

  • 对那些定理和公式进行验证，其最大目的就在于，弄明白那些灵感和奇思妙想得来的原因。在这些原因里面，就包含了用数学的方式来思考问题的实质。我们可以从那些定理和公式的验证方法、解题方法当中，找出潜在的实质性的思考问题的方法，以及恰当的解题思路。
    话虽这么说，但是要想自己一个个的去找出解题思路也并非易事。因此，本书罗列了10种解题思路，在第3部分会有详细的介绍。

• 闻，思，教三部曲

  • 怎样才算明白？
    • “大家都有什么问题吗？”
      我在每次上课之前都会说这样一句话。无论是教哪一类的学生，在什么样的场合下，每次我的话刚一说完，学生们就会说：
      “有问题！”
      为什么会这样呢？因为能够知道自己哪里不懂，并且能够用自己的语言表达出来，这就说明学生们真正用心了，距离掌握这些知识和理解这些知识，提高数学水平，已经不远了。
    • 然后在没有问题后，如果你能把它说给你的祖母听，让你的祖母明白，那你才是真正的明白了。=能够用自己的语言解释给别人听，让不明白的人也能明白了，这样才算是“明白了”。

• 学习三部曲：闻（仔细听），思（会记笔记），教（善于教授）
  - 默而识之，学而不厌，诲人不倦

• 准备一个自己的数学笔记

  • 笔记是写给自己将来看的
  • 把笔记变成属于自己的知识“宝库”
    • 知识
    • 理解
    • 查阅的资料
  • 通过笔记，来积累“教学”的经验
    • 通过笔记，教会未来已经忘记这些东西的自己
  • “宝库笔记的记法”
    • 定理公式
      • 定理公式
      • 证明过程
      • 每一步的逻辑结构
      • 领悟
    • 习题篇
      • 经典习题
      • 解题过程（最好县看懂，然后自己在不看答案的情况下写出来）
      • 其他解题方法
      • 解题想法和思路

• 尽量用自己的语言写，切记抄书意义不大

• 记录全面

第二部：在解题之前应该掌握的知识

• 在数学中使用未知数的原因
  • 算数和数学的去区别
    • 数学 = 代数 （涉及到未知数的数学）+ 解析（微积分和概率） + 几何（图形）
  • 演绎和归纳
    • 演绎法：把在整体当中成立的理论，应用到部分当中。
    • 归纳法：把在部分当中适用的理论，推及到整体当中去。
  • 规律性
    • 总结规律，认识世界的重中之重
  • 使用未知数的好处
    • 说到数学的基本精神，就是找出事物背后所隐藏的规律和性质。如果你能通过若干的具体事例，得出适用于整体的理论，也就是找出其中的规律（归纳）的话，那么你就能通过表面有限的事物，来捕捉背后无限的世界。所以说，未知数的使用，是前人留下的恩惠。
    • 在总结出规律后，吧这些规律和性质应用到个体的案例当中去，就必须使用未知数的算式。
• 使用代入法求解方程组最为有效
• 拿到数学练习册的做题方法

  • “能看懂”和“能理解”是两码事

  • 关于练习册后面的“答案”
  • 这道题为什么不会做
  • 怎么样才能够回答题
  • 当你会做这些题的时候
• 数学不好的人所欠缺的解题基本功
  • 将应用题“数字化”
  • “除去运算当中所包括的两种含义”
  • 图标与联立方程组之间的联系
  • 通过辅助线，能不能获得“更多有用的信息”
• 数学好的人，都掌握了“基本都解题思路”
  • “10种解题的思路”和相应的作用
  • 归纳出其中的原理、规则、和定义，将复杂的问题分解

第三部：遇到任何数学题都能解答的10种解题思路

• 解题思路1“降低次方和次元”
• 解题思路2“寻找周期和规律性”
• 解题思路3“寻找对称性”
• 解题思路4“逆向思维”
• 解题思路5“与其考虑相加，不如考虑相乘”
• 解题思路6“相对比较”
• 解题思路7“归纳性的思考实验”
• 解题思路8“数学问题的图像化”
• 解题思路9“等值替换”
• 解题思路10“通过终点来追溯起点”

第四部：10中解题思路的运用

结束语： 在数学的学习中，要有一个“自由”的学习环境

举例看这本书已经过去两年了，也从本科生成为研究生了，对于理工科而言，数学的作用越来越重要，还是有必要知道什么是数学的，这本书上数学思想，我本人还是无法应用到概率论，微积分，线性代数中，数学太差，也没有时间整理了，有志向的同学，有兴趣的同学，好好学数学吧!