0-1背包问题的个人理解

问题：

给一个能承重V的背包，和n件不同物品（每个物品只有一件），我们用重量和价值的二元组来表示一个物品，第i件物品表示为（Vi，Wi），问：在背包不超重的情况下，得到物品的最大价值是多少？

 

最近做了不少题，不像以前那样水博客了2333，总结一下，运用动态规划解决此类问题，首先确定递推状态 f ( i , j ) = k；其中 k 表示为 i 件物品，剩余承重为 j 的情况下能装的最大价值，则影响 K 值的有两个因变量分别为 i, j ；所以我们创建二维数组 a[ i ][ j ]来表示在 i 件物品剩余承重为 j 时背包能装的最大价值。

   在确定了状态以后我们开始确定状态转移方程：很显然向背包内放物品 i 时会有两种可能的情况，第一种为超重，既物品重量  vi > 当前背包剩余重量 j  ，背包无法放入物品，此时背包价值与 i - 1 一致，不发生变化，另一种为 vi <= j，在此状态下我们可以选择在 i - 1的基础上放入当前物品或者不放入当前物品，有很多情况下我们放入物品 i 并不能求出最大价值，此时需要对放或者不放两种情况的背包价值进行比较，取价值高的一者，既 max( a[ i - 1 ][ j ] , a[ i - 1 ][ j - vi] + wi ) ;当选择放入物品时需对剩余承重和当前背包的价值进行更新。

代码：

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;

int main()
{
    int v,n;
    int vi[105],wi[105];
    int a[105][10005];
    cin>>v>>n;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        cin>>vi[i]>>wi[i];
    }
    memset(a,0,sizeof(a));
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= v; j++){
            if(vi[i-1] > j){
                a[i][j]  = a[i-1][j];
            }else{
                a[i][j] = max(a[i-1][j],a[i-1][j-vi[i-1]]+wi[i-1]);
            }
        }
    }
    cout<<a[n][v]<<endl;
    return 0;
}

在此基础上我们可以进行一下优化，减少空间的开销，二维数组的开销是巨大的，我们可以采用滚动数组的方式对 a 数组进行处理

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;

int main()
{
    int v,n;
    int vi[105],wi[105];
    int a[3][10005];
    cin>>v>>n;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        cin>>vi[i]>>wi[i];
    }
    memset(a,0,sizeof(a));
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= v; j++){
            if(vi[i-1] > j){
                a[i%3][j]  = a[(i-1)%3][j];
            }else{
                a[i%3][j] = max(a[(i-1)%3[j],a[(i-1)%3][j-vi[i-1]]+wi[i-1]);
            }
        }
    }
    cout<<a[n%3][v]<<endl;
    return 0;
}

继续对其进行优化，我们能发现 a[ i ][ j ]的值是由 a[ i-1 ][ j ] 或  a[ i-1 ][ j - vi ] + wi 决定的，而 i - 1实际上是上一次循环算出的数值，我们可以将a压缩为一维数组 a[ j ] （j代表剩余承重量），由于第 i 个物品需要用到第 i - 1个物品时的状态值，循环应从后向前推进，避免之前的值在未被利用前就被改变（既当进入一层循环时由末尾最后一位开始，前面的都是上一个 i 循环产生的值）

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;

int main()
{
    int v,n;
    int vi[105],wi[105];
    int a[10005];
    cin>>v>>n;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        cin>>vi[i]>>wi[i];
    }
    memset(a,0,sizeof(a));
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = v; j >= 1; j--){
            if(vi[i-1] <= j){
                a[j] = max(a[j],a[j-vi[i-1]]+wi[i-1]);
            }
        }
    }
    cout<<a[v]<<endl;
    return 0;
}

可达到线性时间。