欧拉计划15--Lattice paths

最新推荐文章于 2022-03-26 09:18:57 发布

原创最新推荐文章于 2022-03-26 09:18:57 发布 · 246 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#欧拉计划15 #Lattice paths

欧拉计划专栏收录该内容

30 篇文章

订阅专栏

本文探讨了使用动态规划和组合数学解决网格中从起点到终点的路径计数问题。介绍了两种方法：动态规划通过累加前一节点和上一节点路径数实现；组合数学则利用排列组合原理，计算所有可能路径数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

动态解比较好，当前节点的路径数是其前一个节点和上面一个节点的可能性之和。

状态转移方程：a[i][j] = a[i-1][j]+a[i][j-1];

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
	long long a[25][25];
	for(int i = 0;i < 21;i++){
		for(int j = 0;j < 21;j++){
			if(i==0||j==0){
				a[i][j] = 1;
			}else{
				a[i][j] = a[i-1][j]+a[i][j-1];
			}	
		}
	}
	cout<<a[20][20]<<endl;
	return 0; 
}

答案：137846528820

好吧，其实不需要DP，数学比较好解，从起始点无论如何走，到终点都要走 2×n 步，其中向右n步，向下n步，利用排列组合可解，既(40！/ 20! * (40-20)! )， 40的阶乘会超过数据表示范围，采用边乘边除的方法防止溢出。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
using namespace std;

int main() {
    long long n = 40, m = 20;
    long long ans = 1;
    while( n!=20 || m!= 0 ) {
        if (n!=20) ans *= (n--); //边乘边除
        if (ans % m == 0) ans /= (m--);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}