[HNOI2008]越狱

题目描述

监狱有连续编号为1…N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱

输入输出格式

输入格式：

输入两个整数M，N.1<=M<=10^8,1<=N<=10^12

输出格式：

可能越狱的状态数，模100003取余

输入输出样例

输入样例#1：

2 3

输出样例#1：

6

说明

6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

思路

考虑有多少种方法越狱，要分别考虑一组，两组，多组的犯人越狱

但是考虑不越狱的方案就简单很多，其实我们不用考虑相邻的犯人

只要当前牢房的犯人和上一个犯人的信仰不同就行了

因为每个都和前面的不同那么最终求出来的相邻的犯人肯定不同

那么最后我们只要用所有方案减去我们求出来的方案数就可以了

那这道题就变成了排列组合的问题

总方案是 m^n , 不越狱的方案是 1* m-1/m * m-1/m * … * m-1/m，也就是（m-1/m）^n-1

因为除法可能有误差，所以转化为m（m^n-1-(m-1)^n-1）

但是减法可能会出现复数，对减法的结果要再加mod再取模

最后补充一句由于数据比较大我们要用到快速幂，这里不详细说

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const long long mod=100003;
ll quick(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    a=a%mod;
    while(b!=0)
    {
        if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
        b=b>>1;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return ans;
}//快速幂，每个乘法都要取模 
ll m,n;
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&m,&n);
    ll a,b,ans,c;
    a=quick(m,n-1),b=quick(m-1,n-1);
    c=(a-b+mod)%mod;//防止复数的情况 
    ans=((m%mod)*c);
    printf("%lld\n",ans%mod);
    //答案也要取模，因为（a*b）%c等价于（a%c*b%c）%c
    return 0;
}