IOI 1999 花店橱窗布置（DP）

题目描述

某花店现有F束花，每一束花的品种都不一样，同时至少有同样数量的花瓶，被按顺序摆成一行，花瓶的位置是固定的，从左到右按1到V顺序编号，V是花瓶的数目。花束可以移动，并且每束花用1到F的整数标识。如果I < J，则花束I必须放在花束J左边的花瓶中。例如，假设杜鹃花的标识数为1，秋海棠的标识数为2，康乃馨的标识数为3，所有花束在放入花瓶时必须保持其标识数的顺序，即杜鹃花必须放在秋海棠左边的花瓶中，秋海棠必须放在康乃馨左边的花瓶中。如果花瓶的数目大于花束的数目，则多余的花瓶必须空，即每个花瓶只能放一束花。

每个花瓶的形状和颜色也不相同，因此，当各个花瓶中放入不同的花束时，会产生不同的美学效果，并以美学值（一个整数）来表示，空置花瓶的美学值为0。在上述的例子中，花瓶与花束的不同搭配所具有的美学值，可以用如下的表格来表示：

花瓶1 花瓶2 花瓶3 花瓶4 花瓶5

杜鹃花 7 23 -5 -24 16

秋海棠 5 21 -4 10 23

康乃馨 -21 5 -4 -20 20

根据表格，杜鹃花放在花瓶2中，会显得非常好看，但若放在花瓶4中，则显得很难看。

为了取得最佳的美学效果，必须在保持花束顺序的前提下，使花的摆放取得最大的美学值，如果具有最大美学值的摆放方式不止一种，则输出任何一种方案即可。

输入输出格式

输入格式：

输入文件的第一行是两个整数F和V，分别为花束数和花瓶数（1≤F≤100，F≤V≤100）。接下来是矩阵Aij,它有I行，每行J个整数，Aij表示花束I摆放在花瓶J中的美学值。

输出格式：

输出文件的第一行是一个整数，为最大的美学值；接下来有F行，每行两个数，为那束花放入那个花瓶的编号。

输入输出样例

输入样例#1：

3 5
7 23 -5 -24 16
5 21 -4 10 23
-21 5 -4 -20 20

输出样例#1：

53
2 4 5

思路

当年的IOI题目，现在看起来也就普及组吧（笑）

确实是一道很简单的DP题，状态转移方程也很容易推出来

我们可以用f[i][j]来记录第i株花放在j位置时的美学值

因为第一种花必定在第二种花之前

所以可以通过i-1盆花的状态推出来i盆花的最佳位置

注意一下边界条件我们可知以下的状态转移方程

for(int i=1;i<=n;++i)
 for(int j=i;j<=m-n+i;++j)//因为后面还有花要放所以时(i，m-n+i)
  for(int k=i-1;k<j;++k)
   f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][k]+v[i][j])

然后就是要处理每株花存放的位置

我们可以建立一个数组pre[i][j]来存当这一株花放在i，j时上一株花的位置

那么最后我们对f[n][i]找最大的时候，就可以知道最后一株花的位置

这时我们可以通过倒推找到每一株花的位置，整个问题就解决了

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int v[105][105],f[105][105];
int pre[105][105],p[105];
int n,m,ans;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);//因为f,v重名了就继续用n,m了 
    for(int i=1;i<=n;++i)
     for(int j=1;j<=m;++j)
      scanf("%d",&v[i][j]);

    for(int i=1;i<=n;++i)
     for(int j=1;j<=m;++j)
      f[i][j]=-1000000;//init

    for(int i=1;i<=n;++i)
     for(int j=i;j<=m-n+i;++j)//因为后面还有花要放所以时(i，m-n+i)
      for(int k=i-1;k<j;++k)
       if(f[i][j]<f[i-1][k]+v[i][j])
        f[i][j]=f[i-1][k]+v[i][j],pre[i][j]=k;//只要更新那么目前上一层最佳位置就是k 

    for(int i=n;i<=m;++i)
     if(ans<f[n][i])
      ans=f[n][i],p[n]=i;
      //最后一个的位置已经找到 
    printf("%d\n",ans);
    for(int i=n;pre[i][p[i]];i--)
     p[i-1]=pre[i][p[i]];
     //通过下一层的pre找到该层位置,不存在的时候就停止 
    for(int i=1;i<=n;++i)
    printf("%d ",p[i]);
    return 0;
}