Chapter 7 Network Flow

最新推荐文章于 2024-08-02 15:38:59 发布

LeegerPENG

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分类专栏：算法设计与分析

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本文探讨了网络流的基本概念及最大流问题的定义。介绍了容量网络的组成要素，包括有向图、容量限制等，并详细阐述了流的定义及其特性，如容量条件和守恒条件。此外，还讲解了如何通过线性规划来求解最大流问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

the maximum-flow problem

Given a flow network, goal is to arrange the traffic so as to make as efficient use as possible of the available capacity.

Designing the Algorithm

容量网络的定义

Defining Flow

the value of f(e) intuitively represents the amount of flow carried by edge e.
properties
- (Capacity conditions)For each e∈E，
0<=f(e)<=ce
- (Conservation conditions)For each node v other than s and t, we have
  
  $\sum e i n t o v f (e) = \sum e o u t o f v f (e)$ $\sum_{e\ into\ v} f(e)= \sum_{e\ out\ of\ v}f(e)$
- 满足上述条件的f，称为G上的一个可行流
The value of a flow f, denoted v(f), is defined to be the amount of flow generated at the source

$v (f) = \sum e o u t o f s f (e)$ $v(f)=\sum_{e\ out \ of\ s}f(e)$
解释：发点s的净流出量为f的流量
最大流：流量最大的可行流 f*

最大流问题的线性规划表述

割集（cut）、割集的容量、最小割集

设容量网络N= < V,E,c,s,t >
A∈V 且 s∈A，t∈A‘
称

$（ A ， A' ） = {< i, j > | < i, j > \in E a n d i \in A ， j \in A'}$ $（A，A'） = \{<i,j>|<i,j>∈E\ and\ i∈A，j∈A'\}$
为N的割集。(也就是边的集合）
$c (A, A') = \sum < i, j > \in （ A, A' ） c (i, j)$ $c(A,A')=\sum_{<i,j>∈（A,A’）}c(i,j)$

称为割集（A,A’）的容量。