POJ 1150 The Last Non-zero Digit

最新推荐文章于 2020-05-22 20:10:37 发布

阿狸是狐狸啦

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分类专栏：数论数学思维

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本文介绍了一种高效算法来计算n!/(n-m)!的末位非零数字，通过去除阶乘中所有2和5的因子，然后统计剩余数字中以3、7、9结尾的数的数量，利用数学规律简化计算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：求n!/(n-m)!的最后一位非零位。

题解：直接求结果模10会超时，而且2和5的结果必然是0，所以先把n！中2和5的因子去掉。

可以看出：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。。。除尽2和5之后为1,1,3,1,1,3,7,1,9,1。。。只剩下1,3,7,9的结尾的数。我们只需要统计一下以3,7,9结尾的数字个数即可。若干个3相乘结果的结尾是有规律的，可以简化计算。写两个函数统计以3,7,9结尾的个数，

我们求1,2,3,4,5,6,7,8,9,10结尾3,7,9个数发现，1,2,3,4,5,和2,4,6,8,10个数是一样的，所以我们需统计一下f(n/2)+g(n)即可。

因为5,15,25,35除以若干个5后结果是1,3,1,7,9,1,3,1,7,9...于是在加上g(n/5),即可。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
using namespace std;
int fact_prime(int n, int x)
{
	int res = 0;
	while (n)
	{
		res += n / x;
		n /= x;
	}
	return res;
}
int g(int n,int x)
{
	if(n==0) return 0;
	return n/10+(n%10>=x)+g(n/5,x);
}
int f(int n,int x)
{
	if(n==0) return 0;
	return f(n/2,x)+g(n,x);
}
int a[4][4]={
	6, 2, 4, 8,
	1, 3, 9, 7,
	1, 7, 9, 3,
	1, 9, 1, 9,  
};
int main()
{
	int n,m;
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
	{
		m=n-m;
		int tow=fact_prime(n,2)-fact_prime(m,2);
		int five=fact_prime(n,5)-fact_prime(m,5);
		int three=f(n,3)-f(m,3);
		int seven=f(n,7)-f(m,7);
		int nine=f(n,9)-f(m,9);
		if(tow<five)
		{
			printf("%d\n",5);
		}
		else
		{
			int res=1;
			if(tow-five!=0)
			res*=a[0][(tow-five)%4];
			res *= a[1][three % 4];
			res *= a[2][seven % 4];
			res *= a[3][nine  % 4];
			res %= 10;
			printf("%d\n", res);
		}
	}
	return 0;
}