51Nod - 1242（矩阵快速幂）

北里五井

于 2018-04-11 14:29:40 发布

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分类专栏：数论

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本文介绍了一种高效求解斐波那契数列第n项的方法，特别是当n非常大时（例如10^18），通过矩阵快速幂运算来计算F(n)%1000000009的结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0

F(1) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) (n >= 2)

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...)

给出n，求F(n)，由于结果很大，输出F(n) % 1000000009的结果即可。

Input输入1个数n(1 <= n <= 10^18)。Output输出F(n) % 1000000009的结果。Sample Input

Sample Output

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const long long INF=1000000009;
struct Node{
   long long M[2][2];
}t;
Node Mult(Node p,Node q)
{
        Node x={0};
        for(int i=0;i<2;i++)
          for(int j=0;j<2;j++)
            for(int k=0;k<2;k++)
              {
                      x.M[i][j]+=(p.M[i][k]*q.M[k][j])%INF;
                      x.M[i][j]%=INF;
              }

              return x;
}
Node power(long long n)
{
        Node ans=t;
        if(n<0) return ans;
        while(n)
        {
                if(n&1)
                {
                  ans=Mult(ans,t);
                  n--;
                }
                t=Mult(t,t);
                n>>=1;
        }
        return ans;

}
int main()
{
        long long n;
        scanf("%lld",&n);

        t.M[0][0]=1;
        t.M[0][1]=1;
        t.M[1][0]=1;
        t.M[1][1]=0;
        Node temp=power(n-2);
        printf("%lld",temp.M[0][0]);
}