RSA算法的详细设计(C++)及不同优化策略的比较

本文详细介绍了RSA算法的实现过程,包括产生公钥和私钥的步骤,以及加密和解密的原理。同时,文章探讨了三种优化策略:限制随机数范围、米勒-拉宾素数测试和列表选择法,并通过测试分析了它们对算法效率的影响。虽然列表选择法在小规模数据下最快,但受限于存储和安全性,不适用于大规模RSA应用。米勒-拉宾测试在大数量级下可能更具优势。

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本篇文章总结了我对RSA算法的理解和设计,并在后文对优化运行效率的方法做了对比分析。

一、RSA算法简介

密码学是研究如何隐密地传递信息的学科,它被认为是数学和计算机科学的分支,和信息论也密切相关。在很久之前的传统密码学中,使用的都是对称加密算法,即使用的密钥只有一个,发收信双方都使用这个密钥对数据进行加密和解密。而现在使用的多为非对称加密算法。

RSA算法是一种著名的非对称加密算法,所谓非对称加密就是说用来加密的密钥和用来解密的密钥是不同的。用来加密的为公钥,是公共的数据,而负责解密的为私钥,是不公开的。利用这种信息不对称的手段,使得该类算法安全性很高,非对称加密算法的大致流程如图1-1。

 

                                              图1-1非对称加密

其中的公钥和私钥其实就是一组数字,其二进制位长度可以是1024位或者2048位,长度越长其加密强度越大,因为破解时的计算量会随密钥长度指数级的上升。而作为一种非对称加密算法,RSA是目前最有影响力和最常用的公钥加密算法,它能够抵抗到目前为止已知的绝大多数密码攻击,已被ISO推荐为公钥数据加密标准。RSA算法的总体流程如图1-2所示。

  

                         图1-2 RSA算法流程

RSA之所以难以被破解的主要原理为:计算两个大素数相乘是容易的,但将计算的结果逆向分解为两个素数是困难的。所以,素数的产生和计算是RSA算法中的一个重要环节。对于为什么破解RSA需要将分解因子,我在后文中进行阐述。

 

 

二、RSA算法的实现

1.产生私钥和公钥

在RSA算法的实现过程中,总体可以分为两大部分,就是产生公钥、私钥和加密解密。我对RSA产生共钥、私钥的流程总结为图2-1。

     图2-1 RSA产生密钥流程

由图2-1可以发现,若想求得私钥中的d,在已知e和n的情况下,需要求得n的欧拉函数值φ(n),则就需要求得p和q。上文已经说过,在已知结果的情况下,逆向求得两个大素数p和q是非常困难的,这就是RSA可靠的原因。

后面对图2-1具体每一步的详细实现进行阐述。

(1)找到两个较大的素数和乘积n

找到两个大素数是整个RSA算法中最慢的步骤之一,这里先采用的方法是不断的生成随机数,直到找到符合要求的素数为止。

首先,需要能够判断一个数是否为素数,最简单的方法就是看这个数是否有除了1和它本身以外的其他因数,即试除法。检测素数的代码段如下。

bool IsPrime(long b)
{
	for (long i = 2; i < sqrt(b); i++)
		if (b%i == 0)return false;
	return true;
}

能够检测素数以后,就可以进行较大素数的生成。为了达到“较大“的要求,我只对大于100的数进行筛选,实现的主要代码如下。为防止过慢,这里的GetRandom()只生成小于200的随机数。

while (1){
	while (1){
	p = GetRandom();                  	//得到随机数
	if (s1 > 100 && IsPrime(s1))break;	//条件为大于100的素数
	}
	while (1){
	q = GetRandom();			//得到第二个随机数
	if (s2 > 100 && IsPrime(s2))break;	//条件为大于100的素数
	}
	if (p != q){                        	//两个数不能相同
	cout << "p=" << p << ",q=" << q << endl;//得到两个大素数
            break;
	}}
rsa算法设计程序 #if !defined(AFX_RSAA_H__081D9EE0_1245_11D5_80AC_0000E8810675__INCLUDED_) #define AFX_RSAA_H__081D9EE0_1245_11D5_80AC_0000E8810675__INCLUDED_ #if _MSC_VER > 1000 #pragma once #endif // _MSC_VER > 1000 // RsaA.h : header file // #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #include<time.h> const DATALENGTH=350; //大数类型的长度 const MLENGTH=10; //质数的长度 const TESTNUM=30; //测试质数时的比较的次数 const SKLENGTH=4; //私钥的长度 typedef signed char byteint[DATALENGTH]; //定义大数类型 typedef signed char mtype[MLENGTH]; //定义质数的大数类型 //extern "C" __declspec(dllexport) void RsaAGenKeys(CString& pk,CString& sk,CString& R); //提供给服务器使用的秘钥产生函数 //extern "C" __declspec(dllexport) int RsaAEncrypt(CString& source,const char* key,const char* R,CStringArray& result);//加密 //extern "C" __declspec(dllexport) CString RsaADecrypt(CStringArray& source,const char* sk,const char* R);//解密 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // CRsaA command target //实现RSA算法的类 class CRsaA : public CCmdTarget { DECLARE_DYNCREATE(CRsaA) CRsaA(); // protected constructor used by dynamic creation // 成员函数 private: void InitInt(void); //基本数据常量的初始化 int IntValid(byteint validtemp); //返回大数validtemp的非零位的个数 int IntCmp(byteint A,byteint B); //比较大数A和B是否相等 //自定义类型的基本运算 void Plus(byteint A,byteint B,byteint C); //C=A+B void Substract(byteint SA,byteint SB,byteint SC); //SC=SA-SB void Multiply(byteint A,byteint B,byteint C); //C=A*B void SetMode(byteint A,byteint B,byteint C,byteint D);//C=A%B int PowerMode(byteint A,byteint C,byteint D,signed char flag[400]);//computing A^B mod C-->D void IntRandom(byteint RandomA,int num); //随机产生一个大数 void LoadInt(byteint A,mtype B); //将质数类型转换为大数类型 void TransBi(byteint B,signed char flag[400]); //将大数B转换为二进制形式 void Mdata(); //产生用于生成质数中进行比较的数 int Prime(byteint Prm); //产生一个长度为MLENGTH的质数 int ComputingPK(byteint Rvalue,byteint SK,byteint PK); //计算公钥PK void ComputingR(byteint p,byteint q,byteint R); //计算模值R void ComputingRvalue(byteint p,byteint q,byteint Rvalue); //计算$(r) void IntCpy(byteint A1,byteint B1); //将大数B1的值拷贝到大数A1中 void SetZero(byteint A); //将大数A清零 CString PrtInt(byteint A); //将一个大数类型转换为一个CString类型 int Getinput(byteint result,CString input); //将字符串转换为对应的大数形式 int Getinput1(byteint result,unsigned long input); //将长整形数转换为对应的大数形式 void RsaDo(byteint source,byteint R,byteint key,byteint desti); //实现加解密 unsigned long Os2ip(unsigned char* pstr); CString Ip2os(CString str); public: void GenKeys(CString& pk,CString& sk,CString& R); //提供给服务器使用的秘钥产生函数 int RsaEncrypt(CString& source,const char* key,const char* R,CStringArray& result);//加密 CString RsaDecrypt(CStringArray& source,const char* sk,const char* R);//解密 void GenKeysTable(); //生成秘钥对文件 void LoadKeysFromFile(CString& r,CString& sk,CString& pk); //成员变量 private: byteint ONEVALUE; byteint ZEROVALUE; byteint TWOVALUE; byteint EIGHTVALUE; //O,1,2,8 constant mtype Model[TESTNUM]; //TESTNUM big number to be compared mtype mZEROVALUE,tempModel; //0 constant signed char flag[400]; // Operations public: // Overrides // ClassWizard generated virtual function overrides //{{AFX_VIRTUAL(CRsaA) //}}AFX_VIRTUAL // Implementation //protected: virtual ~CRsaA(); // Generated message map functions //{{AFX_MSG(CRsaA) // afx_msg LONG OnComputing(WPARAM wParam, LPARAM lParam); // NOTE - the ClassWizard will add and remove member functions here. //}}AFX_MSG DECLARE_MESSAGE_MAP() }; ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////// //{{AFX_INSERT_LOCATION}} // Microsoft Visual C++ will insert additional declarations im
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