RSA算法的详细设计（C++）及不同优化策略的比较

最新推荐文章于 2025-06-13 13:50:26 发布

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#RSA #密码学

本文详细介绍了RSA算法的实现过程，包括产生公钥和私钥的步骤，以及加密和解密的原理。同时，文章探讨了三种优化策略：限制随机数范围、米勒-拉宾素数测试和列表选择法，并通过测试分析了它们对算法效率的影响。虽然列表选择法在小规模数据下最快，但受限于存储和安全性，不适用于大规模RSA应用。米勒-拉宾测试在大数量级下可能更具优势。

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本篇文章总结了我对RSA算法的理解和设计，并在后文对优化运行效率的方法做了对比分析。

一、RSA算法简介

密码学是研究如何隐密地传递信息的学科，它被认为是数学和计算机科学的分支，和信息论也密切相关。在很久之前的传统密码学中，使用的都是对称加密算法，即使用的密钥只有一个，发收信双方都使用这个密钥对数据进行加密和解密。而现在使用的多为非对称加密算法。

RSA算法是一种著名的非对称加密算法，所谓非对称加密就是说用来加密的密钥和用来解密的密钥是不同的。用来加密的为公钥，是公共的数据，而负责解密的为私钥，是不公开的。利用这种信息不对称的手段，使得该类算法安全性很高，非对称加密算法的大致流程如图1-1。

图1-1非对称加密

其中的公钥和私钥其实就是一组数字，其二进制位长度可以是1024位或者2048位，长度越长其加密强度越大，因为破解时的计算量会随密钥长度指数级的上升。而作为一种非对称加密算法，RSA是目前最有影响力和最常用的公钥加密算法，它能够抵抗到目前为止已知的绝大多数密码攻击，已被ISO推荐为公钥数据加密标准。RSA算法的总体流程如图1-2所示。

图1-2 RSA算法流程

RSA之所以难以被破解的主要原理为：计算两个大素数相乘是容易的，但将计算的结果逆向分解为两个素数是困难的。所以，素数的产生和计算是RSA算法中的一个重要环节。对于为什么破解RSA需要将分解因子，我在后文中进行阐述。

二、RSA算法的实现

1.产生私钥和公钥

在RSA算法的实现过程中，总体可以分为两大部分，就是产生公钥、私钥和加密解密。我对RSA产生共钥、私钥的流程总结为图2-1。

图2-1 RSA产生密钥流程

由图2-1可以发现，若想求得私钥中的d，在已知e和n的情况下，需要求得n的欧拉函数值φ(n)，则就需要求得p和q。上文已经说过，在已知结果的情况下，逆向求得两个大素数p和q是非常困难的，这就是RSA可靠的原因。

后面对图2-1具体每一步的详细实现进行阐述。

（1）找到两个较大的素数和乘积n

找到两个大素数是整个RSA算法中最慢的步骤之一，这里先采用的方法是不断的生成随机数，直到找到符合要求的素数为止。

首先，需要能够判断一个数是否为素数，最简单的方法就是看这个数是否有除了1和它本身以外的其他因数，即试除法。检测素数的代码段如下。

bool IsPrime(long b)
{
	for (long i = 2; i < sqrt(b); i++)
		if (b%i == 0)return false;
	return true;
}

能够检测素数以后，就可以进行较大素数的生成。为了达到“较大“的要求，我只对大于100的数进行筛选，实现的主要代码如下。为防止过慢，这里的GetRandom()只生成小于200的随机数。

while (1){
	while (1){
	p = GetRandom();                  	//得到随机数
	if (s1 > 100 && IsPrime(s1))break;	//条件为大于100的素数
	}
	while (1){
	q = GetRandom();			//得到第二个随机数
	if (s2 > 100 && IsPrime(s2))break;	//条件为大于100的素数
	}
	if (p != q){                        	//两个数不能相同
	cout << "p=" << p << ",q=" << q << endl;//得到两个大素数
            break;
	}}