RSA加密算法的优化及改进

  RSA加密算法是第一个能同时用于消息传输和数字签名的算法，是目前被研究和使用最广泛的加密算法。

多素数RSA加密算法

基本原理

1.密钥生成阶段
Step 1. 随机选择多个数值不同的强素数$p_1,p_2,\cdots p_n$;
Step 2.计算模数 $N=p_1\times p_2\cdots \times p_n$;
Step 3. 计算模数$N$的欧拉函数$\phi (N)=(p_1-1)\times (p_2-1)\cdots \times (p_n-1)$;
Step 4. 随机选取一个正整数$e$作为公钥，公钥满足尽可能大，$1<e<\phi (N)$且$gcd(e,\phi (N))=1$;
Step 5. 根据$ed\equiv 1(mod\phi (N))$，求得$e$关于$\phi (N)$的模逆元素，即，私钥$d$。
在密钥生成过程结束后，可获得公钥$(e,N)$和私钥$(d,N)$。将公钥发送给所有需要进行通讯的对象，保密$p_1,p_2,\cdots p_n$和$\phi (N)$。私钥由持有者保管好，防止泄露造成攻击。
2.明文消息$M$加密阶段
$$C=M^{e}modN$$
3.密文消息$C$解密阶段
$$M=C^{d}modN$$

效率分析

  运用多素数RSA加密算法进行解密时需要进行$s$次指数长度为$n/s$ bit位的指数运算。传统RSA加密算法再使用BR算法计算时时间复杂度为$O(log(d)lo{g}^2(n))$， 当$d$很大与$n$同数量级时，复杂度可以认为是$O(lo{g}^3(n))$。在效率提高的倍数为：$\alpha =lo{g}^3(n)/lo$