最基础的Dijkstra的应用

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Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

 

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

 

执行动画过程如下图

                                                             

3.算法代码实现：

#define inf 0x3f3f3f3f//表示一个无限大的值
bool check[maxsize];//标记图中的每个点是否已经得到最短路径
int dis[maxsize];//表示出发点到每个点的当前最短路径的值
void dij()
{

    memset(check,false,sizeof(check));
    check[s]=true;//将初始点标记
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(i==s)
            dis[i]=0;
        else
            dis[i]=map[s][i];
    }
    for(int i=1;i<n;i++)//将剩余的n-1个点加入即可
    {
        int temp=inf;
        int pos;
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(!check[j]&&dis[j]<temp)
            {
                pos=j;
                temp=dis[j];
            }
        }//找到有最小的dis的那个点
        if(temp==inf)
           break;//表示没法走下去，直接退出
            check[pos]=true;//将找到的点标记
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(!check[j]&&dis[pos]+map[pos][j]<dis[j])
                dis[j]=dis[pos]+map[pos][j];
        }//进行松弛操作
    }
}

4.算法实例

先给出一个无向图

                                                         

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

                                

最后附上一道基础的应用dis解决的题目：

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畅通工程续

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Problem Description

某省自从实行了很多年的畅通工程计划后，终于修建了很多路。不过路多了也不好，每次要从一个城镇到另一个城镇时，都有许多种道路方案可以选择，而某些方案要比另一些方案行走的距离要短很多。这让行人很困扰。现在，已知起点和终点，请你计算出要从起点到终点，最短需要行走多少距离。

Input

本题目包含多组数据，请处理到文件结束。每组数据第一行包含两个正整数N和M(0<N<200,0<M<1000)，分别代表现有城镇的数目和已修建的道路的数目。城镇分别以0～N-1编号。接下来是M行道路信息。每一行有三个整数A,B,X(0<=A,B<N,A!=B,0<X<10000),表示城镇A和城镇B之间有一条长度为X的双向道路。再接下一行有两个整数S,T(0<=S,T<N)，分别代表起点和终点。

Output

对于每组数据，请在一行里输出最短需要行走的距离。如果不存在从S到T的路线，就输出-1.

Sample Input

3 3
0 1 1
0 2 3
1 2 1
0 2
3 1
0 1 1
1 2

Sample Output

2
-1

Author

linle

Source

2008浙大研究生复试热身赛（2）——全真模拟

AC代码：

#include<iostream>
#include<string.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,m;
int a,b,x;
int s,t;
int map[201][201];
int dis[201];
bool check[201];
void dij()
{

    memset(check,false,sizeof(check));
    check[s]=true;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(i==s)
            dis[i]=0;
        else
            dis[i]=map[s][i];
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int temp=inf;
        int pos;
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(!check[j]&&dis[j]<temp)
            {
                pos=j;
                temp=dis[j];
            }
        }
        if(temp==inf)
           break;
            check[pos]=true;
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(!check[j]&&dis[pos]+map[pos][j]<dis[j])
                dis[j]=dis[pos]+map[pos][j];
        }
    }
}
int main()
{
    while(cin>>n>>m)
    {
        memset(map,inf,sizeof(map));
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            cin>>a>>b>>x;
            if(map[a][b]>x)
            map[a][b]=map[b][a]=x;
        }
        cin>>s>>t;
         dij();
        if(dis[t]==inf)
            cout<<-1<<endl;
        else
            cout<<dis[t]<<endl;
    }
    return 0;
}