算法Day01 两数相加不能用加减乘除符号

^ 按位异或运算符

本质上是无进位加法，例如：

0遇见1,1遇见0等于1

1遇见1,0遇见0等于0（不允许同性恋法则）

加法：0+1=1

1+0=1

0+0=0

1+1=0（进位）

所以位异或运算本质上就是不考虑进位的加法，在不考虑进位的加法异或运算符可以解决：

例如:9+4=13

9的补码 1001

4的补码 0100

异或结果 1101 转为十进制就等于13

但是遇到需要进位的场景则无法准确运算，则需要考虑进位的情况。

&按位与运算符：

可以用来获取二进制加法是否进位，举例说明：

1遇见1=1

1遇见0,0遇见1,0遇见0=0

加法中：1+1=0（进位），

那么我们用与运算的思想就可以推出：与运算等于1的位置发生了进位

举例：

8+9=17

1、先异或运算（无进位加法）计算加法

8^9（异或运算符）计算：

8的补码 1000

9的补码 1001

8^9补码 0001

转换为十进制位等于1（值A）

2、再用与运算判断是否进位

8&9计算：

8的补码 1000

9的补码 1001

与运算 1000，

说明第一个1发生了进位，那么我们在此左移一位变为10000，结果等于16（值B）。

因为发生了进位，则再需要用无进位加法的结果（值A）+进位后结果（值B）

也就是16+1

3、则再用异或运算（无进位加法）计算加法

16的补码 10000

1的补码 00001

异或运算 10001 等于17

4、再次用与运算判断是否需要进位：

16的补码 10000

1的补码 00001

与运算 00000 等于0，

说明无进位，则无需用无进位加法结果再次累加进位结果

总结：

1、每发生一次加法，则先用无进位加法算出无进位加法结果（值A）

2、然后用与运算判断是否发生进位

• • 有进位则用算出的结果右移一位变成需要新加的结果（值B），转入下述3
  • 无进位则加法结果就等于值A，无需下述3

3、再计算A+B的无进位加法

4、再判断A+B是否进位...

JAVA解法

class Solution {

    public int add(int a, int b) {

        while(b!=0){

            int add = (a&b) 1;

            a = a^b;

            b = add;

        }

        return a;

    }

}

python解法

题目要求结果不会溢出 32 位整数，因为python的int类型位无限长的补码表示，所以python语言需要考虑边界

class Solution:

    def add(self, a: int, b: int) -> int:

        # 表示32位最大的补码

        x = 0xffffffff

        # 求32位内的a、b

        a,b = a & x, b & x

        while(b!=0):

            carry = (a & b) 1 & x

            a = a ^ b

            b = carry

        # k = 0x7fffffff 表示32位内最大整数，32位为符号位

        #若为负数，则对32位以内的数字取反，然后再对整体取反

        return a if a 0x7fffffff else ~(a ^ x)

扩展知识：要求实现减法、乘法、除法

减法：很简单，就是把b改成-b，然后再相加就可以了

JAVA实现：

class Solution {

    public int sub(int a,int b){
        //取反+1则等于负数本身，也就是负b，~是对所有补码取反，包括符号位

        b = add(~b,1);

        add(a,b);

    }



    public int add(int a, int b) {

        while(b!=0){

            int add = (a&b) 1;

            a = a^b;

            b = add;

        }

        return a;

    }

}

为什么 ~b +1等于负b呢？

假设b等于1，则原码、反码补码等于

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001

-1的原码等于

1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001

反码等于

1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110

补码等于

1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

那么~b就等于-1的反码，再加一个1就等于-1的补码，计算机内部都是用补码进行运算，故而相等