【CF】1989E-Distance to Different 题解

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标签：动态规划

题目大意

考虑一个由n个整数组成的数组a，其中每个元素都在1到k之间，并且每一个从1到k的整数至少出现一次。让b数组通过以下方式构造：对于a中的第i个元素，b[i]是到与a[i]不相等的最近元素的距离。换句话说，bi=minj∈[1,n],aj≠ai∣i−j∣。例如，如果a=[1,1,2,3,3,3,3]，那么b=[2,1,1,1,2,1,1]。计算所有可能的a数组中可以得到的不同b数组的数量，并对998244353取模后输出。

输入：输入只有一行，包含两个整数n和k（2≤n≤2⋅10⁵；2≤k≤min(n,10)）。

输出：输出一个整数——可以得到的不同b数组的数量，对998244353取模后输出。

算法分析

• 考虑 $a$ 中的一个等元素块。如果我们把 $a$ 分成这样的块，我们可以单独考虑每个块 — 对于每个元素，我们只需要距离最近边界的距离（除了第一个和最后一个块，我们只考虑一个边界）。很容易看出，如果块的长度是偶数（设为 $2x$），则这些块内的距离为 [1, 2, 3, …, x-1, x, x, x-1, …, 3, 2, 1]。如果块的长度是奇数（设为 $2x-1$），则距离为 [1, 2, 3, …, x-1, x, x-1, …, 3, 2, 1]。现在我们不需要 $a$ 中的实际值，我们只需要关于等元素块的信息。
• 我们需要至少有 $k$ 个等元素块，因为如果块的数量小于 k k