【时间序列分析】差分运算及延迟算子的性质

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本文深入探讨了差分运算的基本概念，包括一阶、P阶及k步差分，并介绍了延迟算子及其在差分运算中的应用。通过详细解析线性差分方程，涵盖齐次与非齐次线性差分方程的解法，以及特征方程求解齐次线性差分方程的通解，为读者提供了全面的理解。

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差分运算

一阶差分： $∇xt=xt−xt−1\nabla{x_t}=x_t - x_{t-1}$
P阶差分： $∇pxt=∇p−1xt−∇p−1xt−1\nabla^p{x_t}=\nabla^{p-1}x_t - \nabla^{p-1}x_{t-1}$
k步差分： $∇k=xt−xt−k\nabla_k=x_t - x_{t-k}$

延迟算子

延迟算子类似于一个时间指针，当前序列诚意一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻
记 p 为延迟算子，则有 $Xt−p=BpXt,∀p≥1X_{t-p}=B^pX_t,\forall{p}\geq1$ ，则有：
一阶差分： $∇xt=xt−xt−1=(1−B)xt\nabla{x_t}=x_t - x_{t-1}=(1-B)x_t$
二阶差分： $∇2xt=∇xt−∇xt−1=(xt−xt−1)−(xt−1−xt−2)=xt−2xt−1+xt−2=(1−2B+B2)xt=(1−B)2xt\nabla^2{x_t}=\nabla x_t - \nabla x_{t-1} = (x_t - x_{t-1}) - (x_{t-1} - x_{t-2}) = x_t - 2x_{t-1} + x_{t-2} = (1-2B + B^2)x_t = (1-B)^2 x_t$
p阶差分： $∇pxt=∇p−1xt−∇p−1xt−1=(1−B)Pxt=∑i=0p(−1)pCpix(t−i)\nabla^p{x_t}=\nabla^{p-1}x_t - \nabla^{p-1}x_{t-1} = (1-B)^Px_t=\sum_{i=0}^{p}{(-1)^p C_{p}^i x_(t-i)}$
k步差分： $∇k=xt−xt−k=(1−Bk)xt\nabla_k=x_t - x_{t-k} = (1 - B^k)x_t$
延迟算子的性质
${B0=1B(c⋅xt)=c⋅B(xt)=c⋅xt−1,c为任意常数B(xt±yt)=xt−1±yt−1Bnxt=xt−n(1−B)n=∑i=0n(−1)nCniBi,其中Cni=n!i!(n−i)!\left\{ \begin{aligned} B^0=1 \\ B(c\cdot x_t) &= c \cdot B(x_t) = c \cdot x_{t-1}, c为任意常数\\ B(x_t \pm y_t) &= x_{t-1} \pm y_{t-1} \\ B^n x_t &= x_{t-n} \\ (1-B)^n &= \sum_{i=0}^{n}{(-1)^n C_{n}^{i} B^i}, 其中 C_{n}^i = \frac{n!}{i!(n-i)!}\\ \end{aligned} \right.$

线性差分方程

$z_t + a_1z_{t-1} + a_2z_{t-2} + ... + a_pz_{t-p} = h(t)$

齐次线性差分方程

$z_t + a_1z_{t-1} + a_2z_{t-2} + ... + a_pz_{t-p} = 0$
齐次线性差分方程的解（利用特征方程求解）
用 $λp\lambda^p$ 替代 $z_t$ , 得到 $λp+a1λp−1+a2λp−2+...+ap=0\lambda^p + a_1\lambda^{p-1} + a_2\lambda^{p-2} + ... + a_p= 0$
特征方程的根称为特征根，记作 $λ1,λ2,...,λp\lambda_1, \lambda_2,..., \lambda_p$

齐次线性差分方程的通解

不相等实数根场合
$zt=c1λ1t+c2λ2t+...+cpλptz_t =c_1 \lambda_{1}^{t} + c_2 \lambda_{2}^{t}+ ...+ c_p \lambda_{p}^{t}$
有相等实根场合
$zt=(c1+c2t+...+cdtd−1)λ1t+cd+1λd+1t+...+cpλptz_t =(c_1 + c_2 t+ ...+ c_dt^{d-1})\lambda_{1}^{t} + c_{d+1}\lambda^{t}_{d+1} + ...+ c_p\lambda_{p}^t$
复根场合
$zt=rt(c1eitω+c2e−itω)+c3λ3t+...+cpλptz_t = r^t(c_1e^{it\omega} + c_2e^{-it\omega}) + c_3\lambda_{3}^t +...+c_p\lambda_{p}^t$

非齐次线性差分方程的特解 $zt′′z_{t}^{''}$ (使得非齐次线性差分方程城里的任意一个解)

$zt′′+a1zt−1′′+a2zt−2′′+...+apzt−p′′=h(t)z_{t}^{''} +a_1z_{t-1}^{''} + a_2z_{t-2}^{''} +...+ a_pz_{t-p}^{''} = h(t)$
非齐次线性差分方程的通解 $z_t$
齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和
$zt=zt′+zt′′z_t = z_{t}^{'} + z_{t}^{''}$