FFT从入门到使用（ACM/OI）

最新推荐文章于 2025-10-22 09:51:12 发布

原创

最新推荐文章于 2025-10-22 09:51:12 发布 · 8.3k 阅读

53 ·

CC 4.0 BY-SA版权

本文深入浅出地介绍了快速傅里叶变换（FFT）和数论优化的快速傅里叶变换（NTT）的概念。从DFT、IDFT、FFT的官方定义出发，探讨了FFT的效率提升和实际应用。详细讲解了复数、单位复根等基础知识，以及FFT的分治思想和具体步骤。同时，文章还介绍了NTT在计算模数情况下的多项式乘法中的作用，以及原根和生成子群等相关数论概念。通过实例和代码，帮助读者理解和掌握FFT与NTT的运用。

(首先膜一发高中生qwq亏我学了信号处理原理专业课了竟然是看高中生的博客才能看懂qwq。。。大概断断续续看了几十篇吧。。。

序言

可能是许久以来写的最认真的一篇了吧，加上今天感觉不太舒服，但是觉得要开始扎实的学点什么，所以，就从现在开始吧。感谢所有认真写博客的人的帮助！！！希望我也能贡献点什么ｑｗｑ。。。

一直想学ＦＦＴ，之前牛客的多小有一道组合数学就用ＦＦＴ写的，而且当时还傻乎乎的用唯一分解定理，但是自己好久没静下心学什么了，而且自己的数学功底又不好，导致一直学不会。看了很多人的博客也没看明白，尤其是原根。但是看了一个ＯＩｅｒ的博客，顿时明白了。。。然后赶紧记录下来。

另外，本文的代码实现全部参考匡斌（kuangbin）的模板（2018.7更新）

前言

你搜索这个关键词就已经知道这一是个数学的东西了。只想学会用很简单，但是这远远不够。所以在看这个博客之前应该先学一下复数的基本知识。

好了下面进入正文。

1．ＤＦＴ　ＩＤＦＴ　ＦＦＴ官方定义？

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。

FFT是一种DFT的高效算法，称为快速傅立叶变换（fast Fourier transform）。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——百度百科

在百度百科上能找到ＤＦＴ和ＦＦＴ这两个定义。正如定义，ＦＦＴ和ＤＦＴ实际上按照结果来看的话是一样的，但是ＦＦＴ比较快的计算ＤＦＴ和ＩＤＦＴ（离散反傅里叶变换·）。

快速数论变换(NTT)是快速傅里叶变换（ＦＦＴ）在数论基础上的实现。

是不是有点迷ＱＡＱ？既然是官方定义那肯定不能让你看懂才对嘛～下面我们一一解释～

2．为什么要使用FFT？

我们在这里引入一个例子：求多项式乘积的朴素算法。

大家平时求 $ｆ（ｘ）＝ａ^{_{１}}$ $f(x) = a_{1}x^2 + b_{1}x + c_{1}$ 与 $g(x) = a_{2}x^2 + b_{2}x + c_{2}$ 的乘积时候，是怎么进行的呢？

我们令

$K(x) = f(x)*g(x) = a_{1}x^2 *a_{2}x^2 + a_{1}x^2*b_{2}x + a_{1}x^2*c_{2} + b_{1}x *b_{2}x^2 + b_{1}x*b_{2}x + b_{1}x*c_{2} + c_{1} *a_{2}x^2 + c_{1}*b_{2}x + c_{1}*c_{2}$

那么很显然我们进行了9次运算，复杂度是 $O(n^2)$ .（具体代码实现不再展开）

但是如果数字足够大呢？比如100000？那朴素算法可太慢啦(；′⌒`),

3.学习FFT

3.1 在学习FFT之前...

3.1.1什么是FFT

FFT，即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。——360百科

如果上一个例子用朴素算法太慢啦！所以我们要用FFT进行优化，复杂度会降为 $O(nlog(n))$

3.1.2项式的系数表示法与点值表示法

一个多项式，我们可以怎样来表示呢？

系数表示法就是用一个多项式的各个项系数来表达这个多项式。比如：

$f(x) = a_{1}x^2 + b_{1}x + c_{1}\Leftrightarrow f(x) = \{a_{1},b_{1},c_{1}\}$

点值表示法是把这个多项式看成一个函数，从上面选取n+1个点，从而利用这n+1个点来唯一的表示这个函数。为什么用（n+1）个点就能唯一的表示这个函数了呢？想一下高斯消元法，两点确定一条直线。再来一个点，能确定这个直线中的另一个参数，那么也就是说（n+1）个点能确定n个参数（不考虑倍数点之类的没用点）。如下：

$\\f_{1}(x) = y_{1} = a_{0} + a_{1}x _{1}+ a_{2}x_{1}^2 + a_{3}x_{1}^3+...+a_{n}x_{1}^n\\ f_{2}(x) = y_{2} = a_{0} + a_{1}x_{2} + a_{2}x_{2}^2 + a_{3}x_{2}^3+...+a_{n}x_{2}^n\\ f_{3}(x) = y_{3} = a_{0} + a_{1}x_{3} + a_{2}x^2_{3} + a_{3}x_{3}^3+...+a_{n}x_{3}^n\\ f_{4}(x) = y_{4} = a_{0} + a_{1}x_{4} + a_{2}x_{4}^2 + a_{3}x_{4}^3+...+a_{n}x_{4}^n\\..\\ f_{n}(x) = y_{n} = a_{0} + a_{1}x_{n} + a_{2}x_{n}^2 + a_{3}x_{n}^3+...+a_{n}x_{n}^n\\$

多项式由系数表示法转为点值表示法的过程，就成为DFT；

相对地，把一个多项式的点值表示法转化为系数表示法的过程，就是IDFT。

而FFT就是通过取某些特殊的x的点值来加速DFT和FFT的过程。

3.1.3复数的引入

复数分为实数和虚数。实数就是我们日常最常用的有理数和无理数。大家记得我们在开始学平方的时候，老师会说所有数的平方大于等于0对不对，那么虚数就引入了。虚数一般用i表示，对于虚数i，有 $i = \sqrt{-1}$ 。另外，i对于虚数的意义，与1对于实数的意义是一样的。如果我说得不够明确，你可以看下面我引用的百科说明。