EM算法在二维高斯混合模型参数估计中的应用

最新推荐文章于 2024-10-11 19:53:10 发布

韩明宇

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分类专栏：机器学习

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本文介绍了二维高斯混合模型的概率分布，详细阐述了EM算法在二维高斯模型参数估计中的应用步骤，并通过实验展示了不同采样点数对参数估计精度的影响，证明样本数量增加能提升估计准确性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

高斯混合模型

高斯混合模型是指具有如下形式的概率分布模型：

$P(y|\theta )=\sum_{k=1}^{K}\alpha _{k}\phi (y|\theta _{k})$

其中， $\alpha _{k}$ 是系数， $\alpha _{k}\geqslant 0$ ， $\sum_{k=1}^{K}\alpha _{k}=1$ ； $\phi (y|\theta _{k})$ 是高斯分布密度， $\theta _{k}=(\mu _{k},\sigma _{k}^{2})$ ，

$\phi (y|\theta _{k})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{k}}exp(-\frac{(y-\mu _{k})^{2}}{2\sigma _{k}^{2}})$

称为第k个分模型。

参考：《统计学习方法》9.3 EM算法在高斯混合模型学习中的应用

多维高斯混合模型

多维高斯混合模型具有如下形式的概率分布模型：

$P(y)=\sum_{k=1}^{K}\alpha _{k}\frac{1}{(2\pi )^{d/2}\left | \Sigma \right |^{1/2}}exp(-\frac{1}{2}(y-\mu _{k})^{T}\Sigma ^{-1}(y-\mu _{k}))$

其中d为数据的维度， $\mu$ 为均值， $\Sigma$ 为协方差矩阵。

对于二维高斯混合模型，d=2，y和 $\mu$ 都是二维的数据，用矩阵表示就是一行两列， $\Sigma$ 则是两行两列的协方差矩阵。

二维高斯混合模型参数估计的EM算法

输入：观测数据 $y_{1},y_{2},...,y_{N}$ ，二维高斯混合模型；

输出：二维高斯混合模型参数。

算法步骤如下：

（1）取参数的初始值开始迭代

（2）E步：依据当前模型参数，计算分模型k对观测数据 $y_{j}$ 的响应度：

$\widehat{\gamma }_{jk}=\frac{\alpha _{k}\phi (y_{j}|\theta _{k})}{\sum_{k=1}^{K}\alpha _{k}\phi (y_{j}|\theta _{k})},\; \; \; j=1,2,...,N;\; k=1,2,...,K$

（3）M步：计算新一轮迭代的模型参数：

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