空间co-location模式挖掘基于全连接Join-Base原理与实现

  简单来说该文章就是将apriori算法应用到空间模式的挖掘，将事务篮子换为co-location模式，将事务等价为行实例和表实例。引入参与率和参与度来等价支持度。频繁项的挖掘和关联规则的生成还是遵循apriori算法的步骤和核心思想，即先验原理（频繁模式的子集一定是频繁的，非频繁模式的超集一定是不频繁的）。

基本理论知识

空间特征

  空间特征（或称空间对象、属性），代表了空间中不同种类的事物。空间特征代表了空间中不同种类的事物的集合。记为F = {f₁, f₂, f₃, …, f_n}。把一个具体空间位置上的对象称为空间实例。将实例的集合称为实例集，记为 S = S₁ U S₂ U …S_n，其中S_i(1<=i<=n）是对应空间特征f_i的实例集合。

  一个具体空间位置上的对象称为对象的空间实例。如A1,2,3,4为A的实例。 如空间中有四个空间特征F={A,B,C,D}.空间特征A有4个实例A1到A4，B有5个实例B1到B5，C有3个实例。

邻近关系

  空间邻近关系：描述了空间实例之间的空间关系。可以是拓扑、距离、混合关系。空间邻近关系需要满足自反性和对称性。
  以距离关系为例，空间邻近关系R为欧式距离小于等于阈值d，表示为：

团

  分布图中一个完全联通子图就是一个团。如{A3,B3,C1,D1}就是一个团

空间co-location模式

  一组空间特征集合c，其中c⊆F。如图中{A,B,C}就是一个co-location模式。

行实例和表实例

  行实例表示团包含了co-location模式c中的所有特征，并且它的子集不包含c中的所有特征。co-location模式c中的所有行实例集合为表实例。
  co-location模式c的长度称为co-location模式的阶。如co-location{A,B,C}的阶为3。
如：
  例如：假设{A3,C1,C3}都满足两两邻近，但是不是co-location{A,C}的行实例
   co-location{A,B,C}的行实例为{A2,B4,C5}和{A3,B3,C1}。所以表实例为{ {A2,B4,C5}，{A3,B3,C1}}

参与率与参与度

  简单来说就是数据挖掘里面的支持度，在空间数据挖掘中引入参与率
  参与率表示为PR（c,fi)，它是fi的实例在空间co-location模式c的所有实例中不重复出现的个数与fi总实例个数的比率。

其中Π是关系投影

  参与度表示为PI(c)，它是空间co-location模式c的所有空间特征的PR值中的最小值。

  min_prev是用户给定的最小参与度（最小频繁性）阈值，当PI©>=min_prev 时，称为co-location模式c是频繁的。

co-location规则

  c1 => c2(p,cp)称为co-location规则，其中c1和c2是co-location模式，c1∩c2不等于空集，p是规则参与度，cp是规则的条件概率。
  条件概率cp是从co-location模式c1推出co-location模式c2的可信度

主要步骤

类似于关联规则挖掘，大多数co-location挖掘算法通常将挖掘任务分解为如下两个子任务：

1. 频繁co-location产生：其目标是发现满足最小参与度阈值min_prev的所有co-location模式。
2. co-location规则产生：其目标是从上一步发现的频繁co-location模式中提取所有高条件概率的规则。

全连接算法Join-Base：

• 候选co-location的生成：由频繁k阶模式，生成k+1阶候选模式，在判断是否频繁，过程类比apriori算法
• 表实例的生成：k阶模式c1和k阶模式c2连接得到k+1阶候选模式c3，则候选模式c3的表实例是由模式c1的表实例和模式c2的表实例按前k-1个特征相同进行链接，同时要求最后两个实例满足邻近关系R。

书中给出的算法步骤

代码实现

我是基于python实现的，算法步骤与书中给出的步骤有一点出入
说明：
P是频繁项，C是候选项，T_cu是未判断是否满足参与率的表实例集合，T是满足参与率的表实例集合。
首先导入需要用到的包

import itertools
import copy
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

准备好需要用到的数据

min_prev = 0.3 #最小参与率
min_conf = 0.3 #最小置信度
ET = ["A","B","C","D"]
E = [["A",1,[24,14]]
    ,["A",2,[64,44]]
    ,["A",3,[46,24]]
    ,["A",4,[63,7]]
    ,["B",1,[13,3]]
    ,["B",2,[19,45]]
    ,["B",3,[47.5,10.5]]
    ,["B",4,[62,52]]
    ,["B",5,[13,50]]
    ,["C",1,[39,11]]
    ,["C",2,[52,50]]
    ,["C",3,[40,36]]
    ,["D",1,[40,20]]
    ,["D",2,[6,10]]]
R = 16 #设最小邻近关系的距离为16

将数据做可视化，看一下数据的基本关系

#定义可视化函数，方便查看数据之间的关系
def drawData(E,R):
    values=[x[2]