取模运算的性质

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定义

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 ：

n = kp + r ；

其中 k、r 是整数，且 0 ≤ r < p，则称 k 为 n 除以 p 的商，r 为 n 除以 p 的余数。

对于正整数 p 和整数 a,b，定义如下运算：

取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。

模p加法： ，其结果是a+b算术和除以p的余数。

模p减法： ，其结果是a-b算术差除以p的余数。

模p乘法： ，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。

说明：

1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3

基本性质

1. 若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)
2. (a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
3. 对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)
4. 传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
2. (a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
4. a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

• 结合律：
  ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

• 交换律：
  (a + b) % p = (b+a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

• 分配律：
  ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）

重要定理

• 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）
• 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）
• 若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，
  (a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12）
• 
  

• 快速乘法取模

  • 当我们计算a*b%mod的时候，往往较大的数计算a＊b会超出数据的范围，这个时候使用快速乘法方法能解决上述问题．
  • 快速乘法的原理是把数分解为多项式相加。举个例子：
    30*14 = 30*(1110)2 = 30*(2^3)1+30(2^2)1+30(2^1)1+30(2^0)*0=240+120+60=420

• typedef long long LL;
  LL q_mul(LL a, LL b, LL p){//快速乘法取模
      LL ans = 0;
      while (b){
          if(b&1LL) ans=(ans+a)%p;
          //or ans=(ans+(b%2*a)%p)%p;
          a = (a +a) % p;
          b >>= 1;
      }
      return ans;
  }