最小生成树模板(POJ 1258-prime+HDU 1233 Kruskal为例)

POJ 1258

Prime(类似于dijkstra)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define INF 0x3f3f3f3f

const int MAXN  =100+100;
int mp[MAXN][MAXN];
int n;

/*
*  数组tree[]用来记录最小生成树的节点
*  数组lowdis[]记录从起点到其余所有点的距离并不断更新
*  数组map[][]记录所有数据两点之间的距离
*  point是所有节点的数目,begin是起点
*  mindis是最小生成树的长度
*/

int tree[MAXN];
int lowdis[MAXN];
void prime(int begin)
{
    int i,j,min,mindis=0,next;
    memset(tree,0,sizeof(tree));
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        lowdis[i]=mp[begin][i];//用lowdis[]数组记录下从起点到剩下所有点的距离
    }
    tree[begin]=1;//标记起点(即最小生成树中的点)
    for(i=1;i<n;i++)
    {
        min=INF;
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            if(!tree[j]&&min>lowdis[j])
            {
                min=lowdis[j];//求出从当前起点到其余所有点的距离中最短的
                next=j;
            }
        }
        mindis+=min;//记录下整条最小树的长度
        tree[next]=1;
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            if(!tree[j]&&lowdis[j]>mp[next][j])
            lowdis[j]=mp[next][j];//更新lowdis[]数组
        }
    }
    printf("%d\n",mindis);
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                scanf("%d",&mp[i][j]);
            }
        }
    prime(1);
    }

}


HDU 1233
Kruskal

# include<iostream>
# include<cstdio>
# include<cstring>
# include<algorithm>
using namespace std;
const int N=105;
const int INF=1<<30;
struct edge
{
    int fr,to,w,nxt;
    bool operator < (const edge &a) const {
        return w<a.w;
    }
};
int pre[N],n,head[N],cnt;
edge e[N*(N-1)+5];
void add(int fr,int to,int w)
{
    e[cnt].fr=fr;
    e[cnt].to=to;
    e[cnt].w=w;
    e[cnt].nxt=head[fr];
    head[fr]=cnt++;
}
int fin(int x)
{
    if(x==pre[x])
        return x;
    return pre[x]=fin(pre[x]);
}
void Kruskal()
{
    for(int i=1;i<=n;++i)
        pre[i]=i;
    sort(e,e+cnt);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<cnt;++i){
        int u=fin(e[i].fr);
        int v=fin(e[i].to);
        if(u!=v){
            ans+=e[i].w;
            pre[u]=v;
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    int a,b,c;
    while(scanf("%d",&n)&&n)
    {
        cnt=0;
        int m=n*(n-1)/2;
        memset(head,-1,sizeof(head));
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            add(a,b,c);
            add(b,a,c);
        }
        Kruskal();
    }
    return 0;
}


2018年全国多校算法寒假训练营练习比赛(第四场) B 道路建设

#ifndef ONLINE_JUDGE
#pragma warning(disable : 4996)
#endif
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <functional>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;

#define MAX_V 1024

int mincost[MAX_V];		// 从集合X出发的边到每个顶点的最小权值
bool used[MAX_V];		// 顶点i是否包含在集合X中
int V;					// 顶点数
// first 最短路径,second顶点编号
typedef pair<int, int> P;
struct edge
{
	int to, cost;
	edge(int to = 0, int cost = 0) : cost(cost), to(to) {}
};
// 边
vector<edge> G[MAX_V];	// G[i] 顶点i到G[i].to的权值为G[i].cost

int prim()
{
	int res = 0;
	memset(mincost, 0x3f, V * sizeof(int));
	memset(used, 0, V * sizeof(bool));
	mincost[1] = 0;
	priority_queue<P, vector<P>, greater<P> > que;
	que.push(P(0, 1));
	while (!que.empty())
	{
		P p = que.top(); que.pop();
		int v = p.second;
		if (used[v] || p.first > mincost[v]) continue;
		used[v] = true;
		res += mincost[v];
		for (int i = 0; i < G[v].size(); ++i)
		{
			edge e = G[v][i];
			if (mincost[e.to] > e.cost)
			{
				mincost[e.to] = e.cost;
				que.push(P(mincost[e.to], e.to));
			}
		}
	}
	return res;
}

int c,m;
int main(int argc, char *argv[])
{

	while (scanf("%d%d%d",&c,&m,&V)!=EOF)
	{
	    int p,q,r;
	    for(int i=1;i<=V;i++) G[i].clear();
		for (int i = 0; i < m; ++i)
		{
			scanf("%d%d%d",&p,&q,&r);
            G[p].push_back(edge(q, r));

		}
		int ans=prim();
		if(ans>c) printf("No\n");
		else printf("Yes\n");
	}

	return 0;
}


<think>好的,我现在需要为用户介绍最小生成树模板。首先,我得回忆一下最小生成树的基本概念和相关算法。最小生成树(Minimum Spanning Tree,MST)是在一个加权无向图中找到一棵包含所有顶点的树,并且边的权值之和最小。常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。 接下来,我需要确定用户的需求是什么。他们可能是在准备算法竞赛或者学习图论,需要模板代码来实现这两种算法。因此,我应该分别解释这两种算法的原理,然后给出代码模板,并比较它们的适用场景。 对于Kruskal算法,核心是使用并查集来管理连通性,按边的权重从小到大排序,依次选择不形成环的边。这里要注意路径压缩和按秩合并优化并查集的操作,以提高效率。代码部分需要结构体或类来存储边,以及并查集的实现。时间复杂度方面,Kruskal是O(M log M),适合边较少的稀疏图。 然后是Prim算法,这通常使用优先队列(堆)来实现,类似于Dijkstra算法。需要维护一个最小堆来选择当前权值最小的边,同时记录哪些顶点已加入生成树。Prim算法的时间复杂度取决于使用邻接矩阵还是邻接表,以及是否用堆优化。使用堆优化的版本是O(M log N),适合边较多的稠密图。 在编写代码模板时,要确保语法正确,变量命名清晰,并加上必要的注释。如,在Kruskal模板中,需要初始化并查集,排序边,然后遍历合并;在Prim的模板中,则需要构建邻接表,使用优先队列,并维护一个visited数组。 同时,应该指出两种算法的区别:Kruskal更适合稀疏图,而Prim在稠密图中表现更好。这是因为Kruskal的时间复杂度主要取决于边的数量,而Prim在邻接矩阵的情况下是O(),对于稠密图来说可能更快,但堆优化后更适合边多的情况。 可能用户会混淆这两种算法的应用场景,所以需要明确说明。另外,示输入输出可以帮助用户理解模板的使用方法,比如给出一个具体的图结构,展示算法如何逐步构建最小生成树。 最后,需要检查是否有遗漏的细节,比如处理图不连通的情况(此时无法生成MST),或者在代码中处理可能的异常。确保提供的模板代码能够正确处理各种情况,比如边权为负数时是否影响算法逻辑(不影响,因为MST允许负权边,只要总权最小)。 总结起来,我需要分步骤介绍两种算法,提供清晰的代码模板,并比较它们的优缺点和使用场景,帮助用户根据具体问题选择合适的算法。</think>最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)是连接加权无向图所有顶点的边权总和最小的树。以下是两种常用算法的模板及解析: --- ### 一、Kruskal 算法(贪心+并查集) **适用场景**:稀疏图(边少) **时间复杂度**:O(M log M) (M为边数) #### 算法步骤: 1. 将边按权值升序排序 2. 初始化并查集 3. 遍历所有边,用并查集判断是否形成环 4. 累计不形成环的边权 ```cpp #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; struct Edge { int u, v, w; Edge(int _u, int _v, int _w) : u(_u), v(_v), w(_w) {} }; vector<Edge> edges; int parent[1005]; int find(int x) { return parent[x] == x ? x : parent[x] = find(parent[x]); } bool unite(int x, int y) { x = find(x), y = find(y); if (x == y) return false; parent[y] = x; return true; } int kruskal(int n) { // n为顶点数 sort(edges.begin(), edges.end(), [](Edge& a, Edge& b) { return a.w < b.w; }); for (int i = 1; i <= n; ++i) parent[i] = i; int sum = 0, cnt = 0; for (auto& e : edges) { if (unite(e.u, e.v)) { sum += e.w; if (++cnt == n-1) break; // 选够n-1条边 } } return cnt == n-1 ? sum : -1; // -1表示图不连通 } ``` --- ### 二、Prim 算法(优先队列) **适用场景**:稠密图(边多) **时间复杂度**:O(M log N) (N为顶点数) #### 算法步骤: 1. 任选起始点,初始化优先队列 2. 每次取出离当前树最近的顶点 3. 更新相邻顶点到树的距离 ```cpp #include <vector> #include <queue> #include <climits> using namespace std; typedef pair<int, int> pii; // {weight, vertex} int prim(vector<vector<pii>>& graph, int n) { vector<bool> vis(n+1, false); priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii>> pq; int sum = 0, cnt = 0; pq.push({0, 1}); // 从顶点1开始 while (!pq.empty()) { auto [w, u] = pq.top(); pq.pop(); if (vis[u]) continue; vis[u] = true; sum += w; cnt++; for (auto& [v, cost] : graph[u]) { if (!vis[v]) { pq.push({cost, v}); } } } return cnt == n ? sum : -1; // -1表示图不连通 } ``` --- ### 三、算法对比 | 特性 | Kruskal | Prim | |-------------|-----------------------------|--------------------| | 数据结构 | 并查集 + 排序 | 优先队列 | | 适用场景 | 稀疏图(边少) | 稠密图(边多) | | 时间复杂度 | O(M log M) | O(M log N) | | 是否需要邻接表 | 不需要 | 需要 | --- ### 四、使用示 输入(邻接表): ``` 顶点数n=3,边: 1-2 (权重5) 2-3 (权重6) 1-3 (权重4) ``` 输出: ``` 最小生成树权值和 = 5 + 4 = 9 ``` --- 根据图的稠密程度选择算法:稀疏图优先用Kruskal,邻接矩阵存储的稠密图可用朴素版Prim(时间复杂度O())。模板代码需根据具体题目调整顶点编号方式(0-based或1-based)。
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