欧几里德与扩展欧几里德

    欧几里德算法是辗转相除法的实现，辗转相除法的关键在于gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 它和它的边界条件gcd(a,0)=a构成了以下代码。因为lcm*gcd=a*b，所以求出两个数字的最大公因子就可以求出它们的最小公倍数

#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;

ll gcd(ll a,ll b)///优美的辗转相除法
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

ll lcm(ll a,ll b)///先除后乘是为了防止爆精度
{
    return a/gcd(a,b)*b;
}
/// d 为最gcd(a,b),(x,y)为ax+by=gcd(a,b)的一组解
/// 任意整数解可以写成(x+k*b',y-k*a')其中a'=a/d,b'=b/d;
void ex_gcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y)
{
    if(b==0)
    {
        d=a;
        x=1;
        y=0;
    }
    else
    {
        ex_gcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}
///若求 ax+by=c 的解,若c不是gcd(a,b)的倍数,则无解,为倍数则为相应的倍数
int main()
{
    int T;
    ll a,b;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>a>>b;
        cout << "gcd == " << gcd(a,b) << endl;
        cout << "lcm == " << lcm(a,b) << endl;
        ll d,x,y;
        cout << "ax+by=gcd(a,b) 的一组解为" << endl;
        ex_gcd(a,b,d,x,y);
        cout << x << ' ' << y << endl;
    }
    return 0;
}

       扩展欧几里德还有另外一种更易于理解的代码，扩展欧几里德可以用来求一个方程的一组解，也可以用来求乘法逆元，乘法逆元在接下来的博客中再介绍

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ret=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return ret;
}

int main()
{
    int a,b,x,y;
    while(cin>>a>>b)
    {
        int d=ex_gcd(a,b,x,y);
        cout<<d<<" "<<x<<" "<<y<<endl;
    }
    return 0;
}