三分算法（秦九韶算法补充）

目录

介绍：

问题引入：

补充：秦九韶算法

解法：

三分

思路：（以上凸函数为例，下凸函数反之）

代码：

一、函数为上凸函数

二、函数为下凸函数

模板题：

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介绍：

说起三分，肯定要提到三分的近亲——二分。

回顾一下二分是什么：对于一个区间，求得其目标（可以是最值），我们可以采取折半查找，若一边的条件不满足，则继续向另外一边折半下去，直到l==r（有些时候有误差），此时的mid即为所求。这样的算法时间复杂度是log量级的。

而三分算法的话，时间复杂度也是log量级的，具体的话好像是O()（省略常数）

其做法是：将给定的区间平均分成3段，比较这三段端点的值，然后与二分一样查找，直到找到为止

那么，三分与二分有什么不同呢？

二分法适用于一个单调序列，请注意，一定是单调！！！

三分法则适用于一个凸函数（上凸与下凸，就是二次函数基本形式中的a<0,a>0的情况）

 

问题引入：

（luogu P3382）

题目描述

如题，给出一个N次函数，保证在范围[l,r]内存在一点x，使得[l,x]上单调增，[x,r]上单调减。试求出x的值。

输入格式

第一行一次包含一个正整数N和两个实数l、r，含义如题目描述所示。

第二行包含N+1个实数，从高到低依次表示该N次函数各项的系数。

输出格式

输出为一行，包含一个实数，即为x的值。四舍五入保留5位小数。

输入输出样例

输入 #1

3 -0.9981 0.5
1 -3 -3 1

输出 #1

-0.41421

说明/提示

时空限制：50ms,128M

数据规模：

对于100%的数据：7<=N<=13

样例说明：

如图所示，红色段即为该函数f(x)=x^3-3x^2-3x+1在区间[-0.9981,0.5]上的图像。

当x=-0.41421时图像位于最高点，故此时函数在[l,x]上单调增，[x,r]上单调减，故x=-0.41421，输出-0.41421。

（Tip.l&r的范围并不是非常大ww不会超过一位数）

 

补充：秦九韶算法

在本题中设计一个函数的计算：

首先，拿到这个函数，学过因式分解的蒻蒻都会将x每一项都提出来，我们是否可以试试看？

那么f(x)就是如下形式：

……

然后就会发现一个递推关系：

int f(int x)
{
    int F=0;
    for(int i=n;i>=0;i--)
	F=F*x+a[i];
    return F;
}

但是这道题就是需要用double类型，更改一下就好了

 

解法：

暴力

这个从区间l~r开始枚举，请记住，循环变量i的数据类型是double型！！！

套用秦九韶算法求得函数的值，然后发现f(x+1)<f(x)的时候，输出x即可

三分

本道题目我们用一个更加智慧的办法：三分法，将这个函数均匀分成三段，然后不断更新区间，就可以查到最值（的横坐标）

 

三分

思路：（以上凸函数为例，下凸函数反之）

既然是分成三段，那么根据植树问题，l,r之间必然有两个点（lmid、rmid），并且这两个点之间的间距等于靠左的点到l的间距，等于靠右的点到r的间距。那么，就可以给这两个点赋值：

k=(r-l)/3;

lmid=l+k;rmid=r-k;

接着就是判定条件：

根据函数的单调性，在这个上凸函数上，在极值点左边的必然是单调递增，右边的反之。

所以说，如果f(lmid)>f(rmid)的话，那么说明lmid离极值点比较近，就需要我们把右边的r向上移动至原来rmid的位置

否则，反之。

这里的否则包含了f(lmid)==f(rmid)的情况，那就是极值点在正中间，我觉得可以直接输出（输出的时候要注意比较mid和mid+1的函数值，mid=(lmid+rmid)/2）了。

但是有很多dalao没有这么写，如果继续跑下去的话也没有大问题，我们还是学一下dalao们吧，因为撞到lmid==rmid的概率很小

下面，就直接贴代码吧

 

代码：

一、函数为上凸函数

int型：

int three(int l,int r)
{
	while(r-l>=1)//一个很小的数，请根据题目设定
	{
		int k=(r-l)/3;
		int lmid=l+k,rmid=r-k;
		if(f(lmid) > f(rmid))
			r=rmid;
		else
			l=lmid;
	}
	return f(l)>f(l+r/2) ? l : (l+r)/2;//比较可能有误差
}

double型：

double three(double l,double r)
{
	while(r-l>=0.0000001)//一个很小的数，请根据题目设定
	{
		double k=(r-l)/3.0;
		double lmid=l+k,rmid=r-k;
		if(f(lmid) > f(rmid))
			r=rmid;
		else
			l=lmid;
	}
	return f(l)>f(l+r/2) ? l : (l+r)/2;//比较可能有误差
}

二、函数为下凸函数

int型：

int three(int l,int r)
{
	while(r-l>=1)//一个很小的数，请根据题目设定
	{
		int k=(r-l)/3;
		int lmid=l+k,rmid=r-k;
		if(f(lmid) > f(rmid))
			r=rmid;
		else
			l=lmid;
	}
	return f(l)>f(l+r/2) ? l : (l+r)/2;//比较可能有误差
}

double型:

double three(double l,double r)
{
	while(r-l>=0.0000001)//一个很小的数，请根据题目设定
	{
		double k=(r-l)/3.0;
		double lmid=l+k,rmid=r-k;
		if(f(lmid) < f(rmid))
			r=rmid;
		else
			l=lmid;
	}
	return f(l)>f(l+r/2) ? l : (l+r)/2;//比较可能有误差
}

注：本蒟蒻没有试验过int型的正确性，而且三分的题目大多都是double型的……

若真的出现int的三分，还请读者试验一下，不可尽信，也不可不信……

 

模板题：

luogu 3382

POJ 3737

POJ3301

 

 

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