哈工大《微积分》——一元积分学与微分方程

第一讲：原函数与不定积分

1. 原函数：$F^{{}^{\prime }}(x)=f(x),F(x)为f(x)的一个原函数.$
2. 不定积分：$F(x)+C.$
3. 不定积分的性质：
   3.1: $(\int f(x)dx{)}^{{}^{\prime }}=f(x).$
   3.2: $\int f^{{}^{\prime }}(x)dx=f(x)+C.$
4. 原函数的存在性：连续函数必有原函数；第一类间断点处无原函数【证明】。
5. 不定积分的基本公式：$\int \frac{1}{x}dx=ln\left|x\right|+C.$

第二讲：第一换元积分法【复合函数求导法】

1. 第一换元积分法（凑微分）：$\int f(g(x))g^{{}^{\prime }}(x)dx=\int f(g(x))dg(x).$
2. 第一换元积分公式补充：
   2.1 $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{b}\int f(ax+b)d(ax+b).$
   2.2 $\int \frac{1}{cosx}dx=\frac{1}{2}ln\left|\frac{1+sinx}{1-sinx}\right|+C=ln\left|\frac{1}{cosx}+tanx\right|+C.$
3. 三角函数积分：
   3.1 【m,n一奇一偶则易凑微分;全为偶数则用倍角公式降到一次】
   $$\int si{n}^{m}xco{s}^{n}xdx.$$
   3.2 【利用$1=si{n}^{2}x+co{s}^{2}x$转化分子来降次,前者凑微分,后者分部积分】
   $$\begin{array}{rl}& \int \frac{1}{si{n}^{m}xco{s}^{n}x}dx\\ & \Rightarrow (\int \frac{sinx}{co{s}^{k}x}dx,\int \frac{cosx}{si{n}^{k}x}dx),(\int \frac{1}{si{n}^{k}x}dx,\int \frac{1}{co{s}^{k}x}dx.)\end{array}$$
   3.3 【利用$ta{n}^{2}x=se{c}^{2}x-1和co{t}^{2}x=cs{c}^2-1来降次$】
   【结合$d(tanx)=se{c}^{2}x和d(cot)=-cs{c}^{2}x$】
   ∫​tannxdx=∫​tann−2x(sec2x−1)dx=∫​tann−2xd(tanx)−∫​tann−2xdx.∫​cotnxdx=∫​cotn−2(csc2−1)dx=−∫​cotn−2(1−csc2)dx=−(∫​cotn−2xdx+∫​cotn−2xd(cotx)).\begin{aligned} \int\!tan^{n}xdx &=\int\!tan^{n-2}x(sec^2x-1)dx\\ &=\int\!tan^{n-2}xd(tanx)-\int\!tan^{n-2}xdx.\\ \int\!cot^{n}xdx &=\int\!cot^{n-2}(csc^2-1)dx\\ &=-\int\!cot^{n-2}(1-csc^2)dx\\ &=-\Biggl( \int\!cot^{n-2}xdx+\int\!cot^{n-2}xd(cotx)\Biggr). \end{aligned}∫tannxdx∫cotnxdx​=∫tann−2x(sec2x−1)dx=∫tan