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最新推荐文章于 2022-02-11 13:58:53 发布

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本文介绍了一种解决特定树形结构问题的方法，通过树形动态规划(Tree DP)结合最近公共祖先(LCA)算法来优化计算过程。该方法利用深度优先搜索(DFS)预处理节点深度，并通过启发式合并策略优化子树的合并过程，最终实现O(nlogn)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

前言

发现我现在树的题什么也不会了。。
就只会树剖和dsu。。

题解

暴力的做法很容易想到
就是枚举两个点，那么他对答案的贡献就是 $2^{n-(dep[x]+dep[y]-2*dep[LCA]+1)}$
然后我们胡乱考虑一下，就可以吧答案拆成 $2^n/2^{(dep[x]+dep[y]-2*dep[LCA]+1)}$
然后后面这个式子，也是一样可以拆开的
也就是 $2^{dep[x]}*2^{dep[y]}/2^{2*dep[LCA]-1}$
于是我们就可以合并子树了
每一个子树里面记录一个 $2^{dep[x]}$ 的和，这个显然可以用dsu优化
然后启发式合并把别的子树合并进去就可以了
时间复杂度是 $O(nlogn)$ 的
做完以后瞄了一眼题解，并不知道题解在讲什么。。

CODE:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MOD=1e9+7;
const LL INV=500000004;
const LL N=100005;
LL pow[N],inv[N];
struct qq
{
    LL x,y,last;
}e[N*2];LL num,last[N];
LL n;
void init (LL x,LL y)
{
    num++;
    e[num].x=x;e[num].y=y;
    e[num].last=last[x];
    last[x]=num;
}
LL ans=0;
LL tot[N],son[N];
LL dep[N];
void dfs1 (LL x,LL fa)
{
    tot[x]=1;
    for (LL u=last[x];u!=-1;u=e[u].last)
    {
        LL y=e[u].y;
        if (y==fa) continue;
        dep[y]=dep[x]+1;dfs1(y,x);
        tot[x]=tot[x]+tot[y];
        if (tot[y]>tot[son[x]]) son[x]=y;
    }
}
LL lalal;
LL p;
LL o;
void solve (LL x,LL fa)
{
    ans=(ans+o*lalal%MOD*inv[dep[x]]%MOD*pow[p]%MOD*pow[p-1]%MOD)%MOD;
    for (LL u=last[x];u!=-1;u=e[u].last)
    {
        LL y=e[u].y;
        if (y==fa) continue;
        solve(y,x);
    }
}
void add (LL x,LL fa)
{
    lalal=(lalal+inv[dep[x]])%MOD;
    for (LL u=last[x];u!=-1;u=e[u].last)
    {
        LL y=e[u].y;
        if (y==fa) continue;
        add(y,x);
    }
}
void dfs (LL x,LL fa)
{
    for (LL u=last[x];u!=-1;u=e[u].last)
    {
        LL y=e[u].y;
        if (y==fa||y==son[x]) continue;
        lalal=0;dfs(y,x);
    }
    if (son[x]!=0)  {lalal=0;dfs(son[x],x);}
    p=dep[x];
    for (LL u=last[x];u!=-1;u=e[u].last)
    {
        LL y=e[u].y;
        if (y==fa||y==son[x]) continue;
        solve(y,x);
        add(y,x);
    }
    ans=(ans+o*lalal%MOD*pow[p-1]%MOD)%MOD; 
    lalal=(lalal+inv[dep[x]])%MOD;
}
int main()
{
    num=0;memset(last,-1,sizeof(last));
    scanf("%lld",&n);
    pow[0]=1;for (LL u=1;u<=n;u++) pow[u]=pow[u-1]*2%MOD;
    o=pow[n];
    inv[0]=1;for (LL u=1;u<=n;u++) inv[u]=inv[u-1]*INV%MOD;
    for (LL u=1;u<n;u++)
    {
        LL x,y;
        scanf("%lld%lld",&x,&y);
        init(x,y);init(y,x);
    }
    dep[1]=1;dfs1(1,0);
    dfs(1,0);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}