扩展欧几里得解同余方程组

最新推荐文章于 2022-04-08 22:57:08 发布

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本文介绍了一种解决不互质模数下同余方程组的方法，通过转换方程形式并使用扩展欧几里得算法求解，最终合并为一个不定方程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题

就是让你求解同余方程

前言

如果所有的模数互质，那么是可以用中国剩余定理求解的，并且代码特别的段
但是如果不互质的话，如果你要用中国剩余定理来解的话就显得没这么方便了，因为你在求那个类似逆元的东西不好求，并且暴力求的话时间也不允许
所以就需要一个更优秀的东西来解

解法

我们观察两个同余方程
$x≡a_1(mod m_1)$
$x≡a_2(mod m_2)$
其实这个可以写成以下形式
$x-y_1*m_1=a_1$
$x-y_2*m_2=a_2$
两个式子相减可以得到
$y_1*m_1-y_2*m_2=a_2-a_1$
然后这里 $m1,m2,(a_2-a_1)$ 都是已知的
所以我们可以当一个不定方程来解
这样的话就是我们可以解出一个 $y1$
待回去就可以得到一个可能的 $x_0$
但是这个 $x_0$ 并不是合法的
他仅仅满足下面这个式子 $x=x_0+k*lcm(m1,m2)$
这个的话又可以看成一个新的同余方程
$x≡x_0 (mod [m1,m2])$
然后如果满足这个方程就可以满足那两个方程了
然后就成功地吧两个方程合为一个
然后一直合下去
就可以得到一个唯一的不定方程
这个的话直接用扩展欧几里得来解就可以了

CODE:

#include<cstdio>
typedef long long LL;
LL exgcd (LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if (a==0)
    {
        x=0;y=1;
        return b;
    }
    LL tx,ty;
    LL d=exgcd(b%a,a,tx,ty);
    x=ty-(b/a)*tx;
    y=tx;
    return d;
}
int main()
{
    LL n;
    LL b1,m1;
    bool tf=true;
    scanf("%lld",&n);
    scanf("%lld%lld",&b1,&m1);
    for (LL u=2;u<=n;u++)
    {
        LL b2,m2;
        scanf("%lld%lld",&b2,&m2);
        LL A,B,x,y,dd=b2-b1;
        A=m1,B=m2;
        LL d=exgcd(A,B,x,y);
        if (dd%d!=0) {printf("no solution!");return 0;}
        x=(x*(dd/d)%(B/d)+(B/d))%(B/d);
        b1=m1*x+b1;
        m1=m1*m2/d;
    }
    if (tf==false) printf("no solution!");
    else printf("%lld\n",b1);
    return 0;
}