拉格朗日乘子法思路来源

核心思路:由果索因

一. 直观理解

1. 问题描述

对于如"图1"式(等式约束优化问题, 可行域是边界), 转化成拉格朗日乘子法的思路来源:

图1: 拉格朗日乘子法问题描述图

如"图2",f为曲面.c为平面, 黑色加粗线是f和c的交线.(约束就是限制自变量的变化范围).

图2: 等式约束下的几何直观图与对应等值线图

2. 梯度共线

如图2,要使在c约束下,f取得最优解,则f的梯度(梯度是等值线的法向量, 如图3)与c的梯度(图中的红色箭头方向即为约束下的梯度方向, 如图4)共线.

图3: 等值线下梯度图

图4: c约束下f的梯度方向(共同方向.大小不重要)

梯度共线几何形式对应解析式如下:

但是只有梯度共线并不能约束范围,因为向量可以平移不是. 故还需要确定范围.

3. 满足c = 0 约束

要在梯度共线的前提下,满足c = 0, 只有两条件取交集(集合论)即可, 在几何上满足两个几何相交, 在代数上,构成的方程组有解.生成图5所示的形式

图5: 同时满足梯度共线与c = 0

4. 拉格朗日条件构造

二. 证明

隐函数存在定理

拉格朗日乘子法是一种优化算法,应用于具有约束条件的优化问题。它的原理是基于拉格朗日乘子的概念,在求解有约束问题的时候,将约束条件转化为目标函数的一部分,通过求解该新的目标函数,得到问题的最优解。 在使用拉格朗日乘子法时,首先根据问题的约束条件构造拉格朗日函数。拉格朗日函数是由目标函数和约束条件组成的,目标函数会被调整为加入拉格朗日乘子与约束条件的乘积,同时每个约束条件都会有一个对应的拉格朗日乘子。然后,通过求取拉格朗日函数的偏导数,将其等于0,可以得到一组方程,包括目标函数的梯度和约束条件的梯度。将这些方程联立求解,就可以得到问题的最优解。 对于拉格朗日函数的求解,可以采用数值方法,例如使用fmincon算法。fmincon是一种非线性约束最小化算法,可以求解具有非线性约束的优化问题。它的实现基于拉格朗日乘子法,通过迭代的方式逼近最优解。在每一次迭代中,通过求解一组子问题,不断调整拉格朗日乘子的值,直到找到最优解为止。 总之,拉格朗日乘子法是一种基于拉格朗日函数的优化算法,通过将约束条件转化为目标函数的一部分,再利用数值方法求解最优解。而fmincon算法则是一种具体的数值方法实现,可以应用于求解具有非线性约束的优化问题。
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