剑指 Offer II 097. 子序列的数目

Ruci-wei

已于 2023-01-03 15:51:58 修改

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分类专栏：算法数据结构文章标签：数据结构算法

于 2023-01-03 15:51:42 首次发布

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文章介绍了如何使用动态规划算法来计算两个字符串之间的子串匹配数量。首先通过二维数组的方法，然后优化成一维数组实现，将问题类比为0-1背包问题，减少空间复杂度。在处理过程中，需注意防止整型溢出并确保结果正确。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

动态规划解

方案一:

二维数组dp

思路：

s="baad";
t="ba";

dp[i][j] 为，t中前i个字符串与 s 中的前j个字符串的子串数。

ba
ba
dp[2][2]=1
baa
ba
dp[2][3]=dp[1][2]+dp[2][2]

对于 dp[i][j]，如果 s[j]==t[i],表明当前两个串的最后字符对应，则dp数为双方都除开当前字符后的dp数+s串不算当前末尾字符串的dp数。
对于 dp[i][j]，如果 s[j]!=t[i]，则 dp 数只为上一个(j-1) dp数(dp[i][j-1])。

$\begin{cases} dp[i-1][j-1]+dp[i][j-1]& \text{s[j]==t[i]}\\dp[i][j-1]& \text{s[j]!=t[i]} \end{cases}$

int dp[1002][1002];
int numDistinct(char * s, char * t){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    int MAX=0x80000000-1;  // 根据题目说明，结果一定为32位数内
    int sum=0;
    int lt=strlen(t),ls=strlen(s);
    if(lt>ls)return 0;
    for(int i=0;i<=ls;i++) dp[0][i]=1;
    for(int i=1;i<=lt;i++){
        for(int j=i;j<=ls;j++){
            dp[i][j]=dp[i][j-1];
            if(s[j-1]==t[i-1] && dp[i-1][j-1]<=MAX-dp[i][j-1]){  // 丢弃超过int范围内的数据
                dp[i][j]+=dp[i-1][j-1];//dp[i-1][j-1];
            }
        }
    }
    return dp[lt][ls];
}

一维数组

在方法一中，因为每轮递推中 dp[i][j]都是继承于 dp[i−1][j] 和 dp[i−1][j−1] 的，因此我们可以取消 i 这个维度，直接用一维数组滚动递推。这样一来其实问题也就可以看做一个 0−1 背包问题。计算在 s 的子序列中 t 出现的个数，其实就相当于在 s 中按顺序找出 x 字符，其中 x 是 t 的长度，使之能构成 t。问题就转化为用 s 提供的石头填满容量为 x 的背包，每个石头需要按顺序选择且只能选择一次，因此是一个 0−1 背包问题。

int min(int a,int b){
    if(a<b) return a;
    return b;
}
int dp[1002];
int numDistinct(char *s,char *t){
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    int MAX=0x80000000-1;
    int lt=strlen(t),ls=strlen(s);
    dp[0]=1;
    for(int i=1;i<=ls;i++){
        for(int j=min(lt,i);j>=1;j--){
            if(s[i-1]==t[j-1] && dp[j]<=MAX-dp[j-1]){
                dp[j]=dp[j]+dp[j-1];
            }
            //printf("dp[%d]=%d\n",j,dp[j]);
        }
    }
    return dp[lt];
}