极大团与networkx Bron-Kerbosch算法源码解读

最新推荐文章于 2024-09-13 14:45:21 发布

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#极大团

本文详细解析了Bron-Kerbosch算法，一种用于寻找图中所有极大团的经典算法。通过构造R、P、X三个集合，算法递归地找出所有可能的极大团。文章不仅介绍了算法的基本原理，还探讨了其在网络x中的实现，以及如何通过改进减少不必要的计算。

我在基于最大团的图池化里提到了一点点Bron-Kerbosch算法，不过对这个算法还是没有太了解，今天单独拿出一篇文章来说这个算法。首先，https://www.jianshu.com/p/437bd6936dad 有着很详细的介绍，毕竟原论文太偏向于理论了不好读透。我会在其基础上添加一些我的理解，并解读networkx的源码。

Bron-Kerbosch算法

极大团的检索算法的时间复杂度都比较高，最近查资料发现也有许多研究旨在降低其时间复杂度，或者在稀疏的巨型图上应用，但是这些都需要对BK算法做一个深入理解。
这个算法主要是构造了三个集合，我们假设：
R集合记录的是当前极大团中已经加入的点。
P集合记录的是可能还能加入的点（也就是与R集合中所有点都有边存在的点，这样加入后，才会构成团）
X集合记录的是已经加入过某个极大团的点（作用是判重，因为会从每个结点开始，枚举所有的团，如果不对已经加入某个极大团的点，进行标记，可能会有重复的极大团出现）
伪代码如下：

1.Bron-Kerbosch Algorithm(Version 1)
2.R={
   
   }   //已确定的极大团顶点的集合
3.P={
   
   V}  //未处理顶点集，初始状态是所有结点
4.X={
   
   }   //已搜过的并且属于某个极大团的顶点集合
5.
6.BronKerbosch(R, P, X):
7.   if P and X are both empty:
8.       report R as a maximal clique
9.   for each vertex v in P:
10       BronKerbosch1(R ⋃ {
   
   v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v))
11       P := P \ {
   
   v}
12       X := X ⋃ {
   
   v}

我们逐行去看。
Line3. 初始化P={V}，V代表图中的所有顶点。
Line7,8. 如果P、X都为空，则说明R是最大团。因为算法的思路就是递归遍历整个点集，所以P为空的是必要条件。那么X呢？X表示已经搜索过并且属于某个最大团的点集，因为算法要找的是最大团，比如{1,2,3}这个团的子集{1,2}也是团，但是并不是最大，此时X起到记录{3}的作用，表示之前已经搜索过最大团{1,2,3}，因此X此时非空表示R不是最大团。这部分可以看后文的示例，能够更清楚理解。
在这里插入图片描述
Line9. 对每一个顶点都进行遍历。这样势必造成计算资源的浪费。还是举例子，从{1}出发找到了最大团{1,2,3}，那么从{2}还是能找到此最大团，重了。因此后续才有对其的改进。
Line10. 将{v}(注意是小v)与R合并，取P与N(v)的交集，X与N(v)的交集。N(v)表示当前节点的邻居结点。因为，最大团必须满足节点之间两两存在边，v又是最大团中的节点了，因此新加入的点的必要条件就是必须与v有边，因此必须是v的邻居。然后，在找到了v的基础上回溯。
Line11. 在对v操作完之后自然要从未处理的点集中删除。
Line12. 加入X集合代表当前状态下对包含点v的极大团已经计算完毕了。注意Line11,12都是回溯过程结束之后的操作。
下面看个例子。